2020年九年级数学中考三轮冲刺：《相似综合训练》(含解析)

则FH⊥AD，过N作NM⊥PC于M， ∴NF+NM的最小值即为FJ的长， ∴∴

＝＝

＝

，

，∵HJ＝CD＝AB＝3， ，

．

∴FJ＝

即NF+NM的最小值是

17．如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点D与原点O重合，AD，CD分别在x轴，y轴上，且AD＝8，CD＝6．将矩形ABCD绕点O按顺时针方向旋转a度得到矩形A′B′C′D，此时A′D与直线BC相交于点P． （1）当a＝60°时，

的值是

．

的值；

（2）如图2，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在y轴正半轴时，求

（3）如图3，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在直线BC上时，求△OPB′的面积．

解：（1）∵a＝60°， ∴∠POC＝30°，

41

∴PC＝OC?tan∠POC＝6×则

＝

＝；

，

＝2，

故答案为：

（2）∵A′O∥B′C'，

∠POC＝∠C′B′O，又∠PCO＝∠B′C′O＝90°， ∴△PCO∽△OC′B′， ∴

＝

，即

＝，

解得，PC＝，

∴＝＝；

（3）由旋转可知∠B′A′O＝∠BAO＝90°，A′B'＝OC＝6， 在△OPC和△B′PA′中，

，

∴△OPC≌△B′PA′（AAS）， ∴PO＝PB′，

设PB′＝m，则OP＝m，PC＝8﹣m，

在Rt△OCP中，OC2+PC2＝PO2，即m2＝（8﹣m）2+62， 解得，m＝

×6＝

．

∴△OPB′的面积＝PB′?OC＝×

18．如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠CBD＝60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G （1）求证：△ADE∽△CDF；

（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；

（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并

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说明理由．

（1）证明：在矩形ABCD中， ∵∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°， ∴∠A＝∠DCF＝90°， ∵DF⊥DE，

∴∠A＝∠EDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE∽△CDF；

（2）解：∵BC＝1，∠CBD＝60°，∠DCB＝90°， ∴CD＝

．

∵△ADE∽△CDF， ∴

＝

＝

＝

＝

，即DF＝

DE．

在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝1+x2． 则S△DEF＝DF?DE＝DE2＝

（1+x2）＝

x2+

；

（3）解：当△BEF的面积S取得最大值时，四边形BGDE是菱形，理由如下：由（2）知，CD＝

．

则在矩形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝．

∵AE＝x， ∴BE＝

﹣x．

∵△ADE∽△CDF， ∴

＝

＝．

∴CF＝

x．

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∴S＝∴当x＝此时BE＝∵CG∥BE，

＝（﹣x）（1+x）＝﹣（x﹣

）2+

．

时，S有最大值． ，CF＝1，BF＝2．

∴△CFG∽△BFE， ∴

＝

． ． ．

∴CG＝∴DG＝

∴BE＝DG，且BE∥DG． ∴四边形BGDE是平行四边形． 又∵BE＝BG．

∴平行四边形BGDE是菱形．

19．如图l，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2＝AB?AD，我们称该四边形为“可分四边形”∠DAB称为“可分角”．

（1）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，求证：△DAC∽△CAB．（2）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB＝∠DAB，则∠DAB＝ 120° ．

（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC＝4，BC＝2，∠D＝90°，则AD＝

．

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