《数的开方》全章复习与巩固--知识讲解（基础）

《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（基础）

【学习目标】

1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；

2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化； 3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一：平方根和立方根 类型 项目 被开方数 符号表示 平方根 非负数 立方根 任意实数 3?a 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； a 性质 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； (a)2?a(a?0)重要结论 (3a)3?a33?a(a?0) a?a????a(a?0)2a3?a?a??3a 要点二：实数

有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数??有理数：有限小数或无限循环小数?无理数：无限不循环小数

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按与0的大小关系分：

??正有理数正数???正无理数?? 实数?0

?负有理数?负数????负无理数?要点诠释：

（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；②有特殊意义的数， 如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…

（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的三个非负性及性质

在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即a≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即a?0 (a?0).

非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算

数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数

大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反

而小；

法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

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【典型例题】

类型一、平方根与立方根

1、在①2的平方根是2；②2的平方根是±2；③2的立方根是32；④2的立方根是±32中，正确的结论有几个（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【思路点拨】根据立方根平方根的定义分别求出2的平方根与立方根，则可求得答案． 【答案】B； 【解析】

解：∵2的平方根是±2，2的立方根是32，

∴②③正确，①④错误；∴正确的结论有2个． 【总结升华】此题主要考查了平方根与立方根的定义和性质．注意熟记定义是解此题的关键． 举一反三：

【变式】（2015春?潍坊期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是4，求a+b的平方根． 【答案】

解：∵2a﹣1的平方根是±3，

∴2a﹣1=9， ∴a=5，

∵3a+b﹣1的立方根是4， ∴3a+b﹣1=64， ∴b=50， ∴a+b=55，

∴a+b的平方根是±．

02.01?10.12、若1，则±1.0201＝

.3670?0.7160.670?1.542 若30，33，则3367 ?_____________【答案】±1.01；7.16；

【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，

变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16

【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.

类型二、实数的概念与运算

3、把下列各数填入相应的集合： －1、3、π、－3.14、9、6?2、?（1）有理数集合｛ ｝；

2?． 、0.72 第3页 共6页

（2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝； （4）负实数集合｛ ｝．

【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】

? ｝（1）有理数集合｛－1、－3.14、9、0.7；

（2）无理数集合｛ 3、π、6?2、?2 ｝； 2? ｝（3）正实数集合｛ 3、π、9、6?2、0.7；

（4）负实数集合｛ －1、－3.14、?2 ｝． 2【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式. 举一反三：

【变式】在实数5，?，3?8，22，0.3，其中无理数有（ ） 7A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B；

提示：无理数有5，?.

222654、计算（1）3216?31000?(?) （2）?1?(1?)2

32741251（3）()?(1?)(?1)

393【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.

【答案与解析】

解：（1）3216?31000?(?)＝6?10?33323222?16 3321111265?1?????????? （2）?1?(1?)2＝3?273412274?4?314?2?181211251????. （3）()?(1?)(?1)＝?3??????3?39?3?327333393【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方

法去求一个数的立方根、平方根. 举一反三：

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