2014年中考数学一轮复习讲义：特殊的平行四边形

2014年中考数学一轮复习讲义：特殊的平行四边形

【考纲要求】

1.掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系． 2．掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．

3．灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明. 【命题趋势】

特殊的平行四边形是中考考查的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中.

【知识梳理】

考点、平行四边形、矩形、菱形、正方形知识要点: 名称 矩 形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 菱 [ 形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 除具有平行四边形的性质①四条边相等的四边①S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；②S=①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③定义 S=ab(a为一边长，b为另一边长) 定 义 性 质 判定 面积 外，还有：①四条边相等；形是菱形；②对角线②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 垂直的平行四边形是菱形；③定义。 1bc(b、c为两2条对角线的长) 正方形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；②对①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形 ①S=a(a为边长)；②S=2角线相等，互相垂直平分，是正方形；③定义。 每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 12b（b为对角2线长） 题型分类 、深度剖析： 考点一、矩形的性质与判定

【例1】 如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN

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∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．

解：当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时， 四边形AECF是矩形．

证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2. 又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3， ∴∠3＝∠2，∴EO＝CO. 同理，FO＝CO， ∴EO＝FO.

又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形． 又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5， ∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.

又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°， ∴∠2＋∠4＝90°，即∠ECF＝90°. ∴四边形AECF是矩形．

方法总结 矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角； (2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90°.

触类旁通1如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.

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求证：(1)BF=DF； (2)AE∥BD．

考点二、菱形的性质与判定

【例2】 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为83，求AC的长．

分析：(1)先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；(2)因为△DOC是等边三角形，根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长，从而求出AC的长．

解：(1)证明：∵DE∥OC，CE∥OD， ∴四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝BO＝OD． ∴四边形OCED是菱形．

(2)∵∠ACB＝30°，∴∠DCO＝90°－30°＝60°. 又∵OD=OC，∴△OCD是等边三角形． 1

过D作DF⊥OC于F，则CF＝OC，

2

设CF＝x，则OC＝2x，AC＝4x. 在Rt△DFC中，tan 60°＝

DF，∴DF＝FC·tan 60°＝3x. FC由已知菱形OCED的面积为83得OC·DF＝83，即2x·3x＝83.解得x＝2.∴AC＝4×2＝8.

方法总结 菱形的定义既可作为性质，也可作为判定．证明一个四边形是菱形的一般方法：(1)四边相等；(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形．

触类旁通2如图，在

ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分

别交AD，BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．

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考点三、正方形的性质与判定

【例3】 如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，

HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.

(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；

(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1 cm，则图③中阴影部分的面积为__________cm.

分析：根据题目的条件可先证△AEH，△BFE，△CGF，△DHG四个三角形全等，证得四边形EFGH的四边相等，然后由全等再证一个角是直角．

解：(1)四边形EFGH是正方形． 证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA． ∵HA＝EB＝FC＝GD，∴AE＝BF＝CG＝DH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴EF＝FG＝GH＝HE. ∴四边形EFGH是菱形．

由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH. ∵∠AEH＋∠AHE＝90°，

∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°. ∴菱形EFGH是正方形． (2)1

方法总结 证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：(1)“平行四边形”＋“一组邻边相等”＋“一个角为直角”(定义法)；(2)“矩形”＋“一组邻边相等”；(3)“矩形”＋“对角线互相垂直”；(4)“菱形”＋“一个角为直角”；(5)“菱形”＋“对角线－相等”．

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