2019年河南省洛阳市高三第二次统一考试数学【理】试题及答案

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2019.5

20xx——20xx学年高中三年级第二次统一考试

数学试卷（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上． 2．考试结束，将答题卷交回．

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是

符合题目要求的．

1．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则复数z的实部与虚部之和为 A．0 B．1 C．22 D．4

2．集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x｜x∈A，且x?B}，则

A－B＝

A．{x｜x＜－1} B．{x｜－1≤x＜0} C．{x｜－1＜x＜0} D．{x｜x≤－1}

3．若函数y＝f（2x＋1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象的对称轴方程是 A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 4．设等比数列{an}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{an}是递减数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知函数f（x）＝x2，g（x）＝lgx，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围是 A．[0，＋∞） B．（0，＋∞） C．[1，＋∞） D．（1，＋∞）

6．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋a2＝(b＋c)， 则cosA等于 A．

2441515 B．－ C． D．－ 55171767．(x＋1)(x－2)的展开式中x4的系数为

A．－100 B．－15 C．35 D．220

8．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，

乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为

A．

1111 B． C． D． 15542x2y29．已知双曲线C：2－2＝，斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交1（a＞0，b＞0）

abuuruuurr于A，B两点，若OA＋OB与向量n＝（－3，－1）共线，则双曲线C的离心率为

A．3 B．234 C． D．3 33f(x1)－f(x2)＞0恒成立，

x1－x210．设函数f（x）＝x｜x－a｜,若对?x1,x2∈[3，＋∞）,x1≠x2,不等式

则实数a的取值范围是 A．（－∞，－3] B．[－3，0） C．（－∞，3] D．（0，3] 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体

的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为

A．1 B．5 2C．6 D．23

12．已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝3,AC＝

3，若三

棱锥D－ABC体积的最大值为33，则球O的表面积为 4A．36π B．16π C．12π D．

16π 3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．

13．执行下面的程序，若输入的x＝2，则输出的所有x的值

的和为________________． 14．已知tanα，tanβ分别是lg(6x－5x＋2)＝0的两个实根，

（α＋β）＝_________．

2则tan

rrrrrrr15．已知向量a，满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，且对一切实数x，｜a＋xb｜≥｜a＋b｜恒成立，

rr则a，b的夹角的大小为________________．

16．已知F1，F2分别是双曲线3x－y＝3a（a＞0）的左，右焦点，P是抛物线y＝8ax与双曲线

的一个交点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝12，则抛物线的准线方程为_____________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

2 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，对?n∈N﹡有2Sn＝an＋an．

2222 （1）求数列{an}的通项公式；。 （2）令bn＝an1，设{bn}的前n项和为Tn，求T1，T2，T3，…，T100中有理数

an＋1＋an＋1an的个数．

18．（本小题满分12分）

为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中 随机抽出30名高中生的身高编成如右所示的茎叶图 （单位：cm）：

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”， 身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个 子”．

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，

那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表

示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD

上，EF∥AB．现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．

uuuruuur（1）若BE＝1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且AP＝λPD，使得CP∥平面ABEF?

若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；

（2）求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求此时二面角E－AC－F的余弦值． 20．（本小题满分12分）

x2y2 设M是焦距为2的椭圆E：2＋2＝1（a＞b＞0）上一点，A、B是其左、右顶点，直线MA

ab与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－ （1）求椭圆E的方程；

1． 2x2y2xxyy （2）已知椭圆E：2＋2＝1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为02＋02＝1，若

ababruuuruuu与椭圆E相切于C（x1，y1），D（x2，y2）两点的切线相交于P点，且PC·PD＝0．求

证点P到原点距离为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝ax－xlna（a＞1），g（x）＝b－

32x，e为自然对数的底数． 21≥f（x2）＋g（x1）＋e成 2 （1）当a＝e，b＝5时，求整数n的值，使得方程f（x）＝g（x）在区间（n，n＋1）内有解； （2）若存在x1，x2∈[－1，1]使得f（x1）＋g（x2）＋

立，求实数a的取值范围．