2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题及答案

单调递减.

a?a2?4a?a2?4（ii）若a?2，令f?(x)?0得，x?或x?.

22a?a2?4a?a2?4)U(,??)时，f?(x)?0； 当x?(0,22当

a?a2?4a?a2?4x?(,)22时，

f?(x)?0.所以

f(x)在

a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4(0,),(,??)单调递减，在(,)单调递

2222增.

（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a?2.

由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x?ax?1?0，所以x1x2?1，不妨设x1?x2，则

2x2?1.由于

f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2lnx1?lnx2?2lnx21???1?a??2?a??2?a，

1x1?x2x1x2x1?x2x1?x2?x2x2所以

f(x1)?f(x2)1?a?2等价于?x2?2lnx2?0.

x1?x2x2设函数g(x)?1?x?2lnx，由（1）知，g(x)在(0,??)单调递减，又g(1)?0，从x而当x?(1,??)时，g(x)?0.

所以

f(x1)?f(x2)1?x2?2lnx2?0，即?a?2. x2x1?x222．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

22解:（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为(x?1)?y?4．

（2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．学&科网

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与

C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两

个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|k?12?2，故

4k??或k?0．

3经检C2验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??4时，l1与C2只有一个公共点，3|k?2|k?12l2与有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以或k??2，故k?04． 3经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?4时，l2与C2没有公共点． 34Cy??|x|?2． 综上，所求1的方程为

323．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

??2,x??1,?解：（1）当a?1时，f(x)?|x?1|?|x?1|，即f(x)??2x,?1?x?1,

?2,x?1.?1故不等式f(x)?1的解集为{x|x?}．

2（2）当x?(0,1)时|x?1|?|ax?1|?x成立等价于当x?(0,1)时|ax?1|?1成立． 若a?0，则当x?(0,1)时|ax?1|?1； 若a?0，|ax?1|?1的解集为0?x?综上，a的取值范围为(0,2]．

22，所以?1，故0?a?2． aa