2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题及答案

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0． （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．（12分）

已知函数f(x)?1?x?alnx． x（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：

f?x1??f?x2??a?2．

x1?x2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2?cos??3?0. （1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知f(x)?|x?1|?|ax?1|.

（1）当a?1时，求不等式f(x)?1的解集；

（2）若x?(0,1)时不等式f(x)?x成立，求a的取值范围.

2

参考答案： 1 C

2 B

3 A

4 B

5 D

6 A

7 B

8 D

9 C

10 A

11 B

12 A

13.6 14.?63 15.16 16.?17.（12分）

33 2

解：（1）在△ABD中，由正弦定理得

BDAB?.

sin?Asin?ADB252sin?ADB??由题设知，，所以.

5sin45?sin?ADB由题设知，?ADB?90?，所以cos?ADB?1?223?. 2552. 5（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中，由余弦定理得

BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC

?25?8?2?5?22?2 5?25.

所以BC?5. 18.（12分）

解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF. 又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD. （2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.

uuuruuur|BF|为单位长，建立如图所示的空间直以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，

角坐标系H?xyz.

由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=3.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得PH?33,EH?. 22uuurr3333uuu3),D(?1,?,0),DP?(1,,),HP?(0,0,)为平面则H(0,0,0),P(0,0,22222ABFD的法向量.

3uuuruuurHP?DP3ruuur|?4?设DP与平面ABFD所成角为?，则sin??|uuu.

4|HP||DP|3所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为19.（12分）

解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.

3. 4由已知可得，点A的坐标为(1,22)或(1,?). 22所以AM的方程为y??22x?2或y?x?2. 22（2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.

A(x1,y1),B(x2,y2)， 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，

则x1?2,x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB?由y1?kx1?k,y2?kx2?k得

y1y?2. x1?2x2?2kMA?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k.

(x1?2)(x2?2)x2?y2?1得 将y?k(x?1)代入2(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0.

4k22k2?2,x1x2?2所以，x1?x2?.

2k2?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k?0. 则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k?22k?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补，所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB. 20.（12分）

2218解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)?C20p(1?p).因此 18217217f?(p)?C220[2p(1?p)?18p(1?p)]?2C20p(1?p)(1?10p).

令f?(p)?0，得p?0.1.当p?(0,0.1)时，f?(p)?0；当p?(0.1,1)时，f?(p)?0. 所以f(p)的最大值点为p0?0.1. （2）由（1）知，p?0.1.

（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y:B(180,0.1)，

X?20?2?25Y，即X?40?25Y.

所以EX?E(40?25Y)?40?25EY?490.

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX?400，故应该对余下的产品作检验. 21.（12分）

1ax2?ax?1解:（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2?1???. 2xxx（i）若a?2，则f?(x)?0，当且仅当a?2，x?1时f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)