2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：选修4-5 不等式选讲

11x－?2＋， 令g(x)＝－??2?4

则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数， ∴g(x)≤g(0)＝0. 故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.

5．(2019·西安质检)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|. (1)解不等式f(x)≤3；

3

(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，求证：t2＋1≥＋3t.

t

?

?2－x，－1

1?3x，x≥，?2

???－1

∴f(x)≤3??或?

?－3x≤3??

－3x，x≤－1，

1

?2－x≤3

1??x≥2，

或? ??3x≤3，

解得－1≤x≤1，

即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．

(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3， 1

当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0，即－1≤x≤时取等号，

2∴M＝[3，＋∞)． t2＋1－3t－

3t3－3t2＋t－3?t－3??t2＋1?＝＝， ttt

∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋1>0， ?t－3??t2＋1?

∴≥0，

t3

∴t2＋1≥＋3t.

t

6．(2019·长春质检)已知函数f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|. (1)求f(x)<2的解集；

1

(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足a＋b＝，求证：a＋b≤T.

2

??

3解：(1)f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|＝?－x＋3，≤x≤2，2

??5x－9，x>2.

3－5x＋9，x<，2

作出函数f(x)的图象如图所示．

711?

由图象可知，f(x)<2的解集为??5，5?. (2)证明：由图象可知f(x)的最小值为1， 由基本不等式可知

a＋b

≤ 2

a＋b

＝ 2

11＝， 42

当且仅当a＝b时，“＝”成立，即a＋b≤1＝T. 3x＋?. 7．已知函数f(x)＝|2x－1|－??2?(1)求不等式f(x)<0的解集M；

(2)当a，b∈M时，求证：3|a＋b|<|ab＋9|.

??131

解：(1)f(x)＝?－3x－2，－2≤x≤2，51?x－，x>?22.

53－x，x<－，22

35

当x<－时，f(x)<0，即－x<0，无解；

22

31111

当－≤x≤时，f(x)<0，即－3x－<0，得－

222621515当x>时，f(x)<0，即x－<0，得

2222

?15?

－

?

?

(2)证明：要证3|a＋b|<|ab＋9|，

只需证9(a2＋b2＋2ab)

即证a2b2－9a2－9b2＋81＞0， 即证(a2－9)(b2－9)＞0.

1515

因为a，b∈M，所以－

6262所以a2－9<0，b2－9<0， 所以(a2－9)(b2－9)>0， 所以3|a＋b|<|ab＋9|.

8．已知函数f(x)＝m－|x＋4|(m>0)，且f(x－2)≥0的解集为[－3，－1]． (1)求m的值；

111

(2)若a，b，c都是正实数，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.

a2b3c解：(1)法一：依题意知f(x－2)＝m－|x＋2|≥0， 即|x＋2|≤m?－m－2≤x≤－2＋m.

??－m－2＝－3，

由题意知不等式的解集为[－3，－1]，所以?

?－2＋m＝－1，?

解得m＝1.

法二：因为不等式f(x－2)≥0的解集为[－3，－1]，

所以－3，－1为方程f(x－2)＝0的两根，即－3，－1为方程m－|x＋2|＝0的两根，

??m－|－3＋2|＝0，

所以?解得m＝1.

?m－|－1＋2|＝0，?

111

(2)证明：由(1)可知＋＋＝1(a，b，c>0)，

a2b3c

111?a2ba3c2b3c

＋＋＝3＋?＋?＋?＋?＋?＋?≥9，当所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)??a2b3c??2ba??3ca??3c2b?3

且仅当a＝2b＝3c，即a＝3，b＝，c＝1时取等号．

2