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2020年高考数学一轮复习考点与题型总结:选修4-5 不等式选讲

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  • 2025/7/5 13:37:31

(2)如果关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,求实数a的取值范围. -2x+1,x<-1,??

解:(1)当a=2时,f(x)=?3,-1≤x<2,

??2x-1,x≥2,

????x<-1,?-1≤x<2,?x≥2,

不等式f(x)>x+2等价于?或?或?,

???-2x+1>x+23>x+22x-1>x+2???

解得x<1或x>3,

故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}.

(2)∵f(x)=|x-a|+|x+1|≥|(x-a)-(x+1)|=|a+1|,当(x-a)(x+1)≤0时取等号. ∴若关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,只需|a+1|<2, 解得-3<a<1,即实数a的取值范围是(-3,1). 7.已知函数f(x)=|2x-a|+a.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围. 解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6,得-1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.

(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥3, a13-a

x-?+?-x?≥即?. ?2??2?2

?x-a?+?1-x??min=?1-a?, 又???2??2???22?

1a?3-a所以??2-2?≥2,解得a≥2. 所以a的取值范围是[2,+∞).

8.(2018·福州质检)设函数f(x)=|x-1|,x∈R. (1)求不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集;

3

1,??M,求实数a的取(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x+1)-|x-a|的解集为M,若??2?值范围.

解:(1)因为f(x)≤3-f(x-1),

?x<1,?1≤x≤2,??

所以|x-1|≤3-|x-2|?|x-1|+|x-2|≤3??或?或

??3-2x≤31≤3????x>2,

? ?2x-3≤3,?

解得0≤x<1或1≤x≤2或2

故不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集为[0,3]. 3

1,??M, (2)因为??2?3

1,?时,f(x)≤f(x+1)-|x-a|恒成立, 所以当x∈??2?而f(x)≤f(x+1)-|x-a|?|x-1|-|x|+|x-a|≤0?|x-a|≤|x|-|x-1|, 3

1,?,所以|x-a|≤1,即x-1≤a≤x+1, 因为x∈??2?3

1,?恒成立, 由题意,知x-1≤a≤x+1对于任意的x∈??2?1?1

所以≤a≤2,故实数a的取值范围为??2,2?. 2

第二节 不等式的证明

一、基础知识

1.基本不等式

(1)定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. a+b

(2)定理2:如果a,b>0,那么≥ab,当且仅当a=b时,等号成立,即两个正数

2的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.

a+b+c3(3)定理3:如果a,b,c∈R+,那么≥abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.

32.比较法

(1)作差法的依据是:a-b>0?a>b.

A

(2)作商法:若B>0,欲证A≥B,只需证≥1.

B3.综合法与分析法

(1)综合法:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立.

(2)分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要证的命题成立.

考点一 比较法证明不等式

11

x-?+?x+?,M为不等式f(x)<2的解集. [典例] 已知函数f(x)=??2??2?(1)求M;

(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

??11

[解] (1)f(x)=?1,-2<x<2,

?.?2x,x≥12

1

当x≤-时,由f(x)<2,

2得-2x<2,解得x>-1;

1

-2x,x≤-,

2

11

当-<x<时,f(x)<2恒成立;

22

1

当x≥时,由f(x)<2,得2x<2,解得x<1.

2所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.

(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1, 从而(a+b)2-(1+ab)2 =a2+b2-a2b2-1 =(a2-1)(1-b2)<0. 因此|a+b|<|1+ab|. [题组训练]

1.当p,q都是正数且p+q=1时,求证:(px+qy)2≤px2+qy2. 解:(px+qy)2-(px2+qy2) =p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2) =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.

因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p. 所以(px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2. 因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0,

所以(px+qy)2≤px2+qy2.当且仅当x=y时,不等式中等号成立. 2.求证:当a>0,b>0时,ab≥(ab)证明:∵

aabb

ab

a+b2.

?ab?

?a?=a+b?b?2a-b2a-b2,

a?∴当a=b时,??b?=1,

a-b2a-ba?a

当a>b>0时,>1,>0,∴??b?b2

>1,

a-b2a-ba?a

当b>a>0时,0<<1,<0,∴??b?b2∴ab≥(ab)

ab

a+b2>1,

.

考点二 综合法证明不等式

[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4;

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(2)如果关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,求实数a的取值范围. -2x+1,x<-1,??解:(1)当a=2时,f(x)=?3,-1≤x<2,??2x-1,x≥2, ????x<-1,?-1≤x<2,?x≥2,不等式f(x)>x+2等价于?或?或?, ???-2x+1>x+23>x+22x-1>x+2??? 解得x<1或x>3, 故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}. (2)∵f(x)=|x-a|+|x+1|≥|(x-a)-(x+1)|=|a+1|,当(x-a)(x+1)≤0时取等号. ∴若关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,只需|a+1|<2, 解得-3<a<1,即实数a的取值范围是(-3,1). 7.已

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