当前位置:首页 > 2020年高考数学一轮复习考点与题型总结:选修4-5 不等式选讲
(2)如果关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,求实数a的取值范围. -2x+1,x<-1,??
解:(1)当a=2时,f(x)=?3,-1≤x<2,
??2x-1,x≥2,
????x<-1,?-1≤x<2,?x≥2,
不等式f(x)>x+2等价于?或?或?,
???-2x+1>x+23>x+22x-1>x+2???
解得x<1或x>3,
故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}.
(2)∵f(x)=|x-a|+|x+1|≥|(x-a)-(x+1)|=|a+1|,当(x-a)(x+1)≤0时取等号. ∴若关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集,只需|a+1|<2, 解得-3<a<1,即实数a的取值范围是(-3,1). 7.已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围. 解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6,得-1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥3, a13-a
x-?+?-x?≥即?. ?2??2?2
?x-a?+?1-x??min=?1-a?, 又???2??2???22?
1a?3-a所以??2-2?≥2,解得a≥2. 所以a的取值范围是[2,+∞).
8.(2018·福州质检)设函数f(x)=|x-1|,x∈R. (1)求不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集;
3
1,??M,求实数a的取(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x+1)-|x-a|的解集为M,若??2?值范围.
解:(1)因为f(x)≤3-f(x-1),
?x<1,?1≤x≤2,??
所以|x-1|≤3-|x-2|?|x-1|+|x-2|≤3??或?或
??3-2x≤31≤3????x>2,
? ?2x-3≤3,?
解得0≤x<1或1≤x≤2或2 故不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集为[0,3]. 3 1,??M, (2)因为??2?3 1,?时,f(x)≤f(x+1)-|x-a|恒成立, 所以当x∈??2?而f(x)≤f(x+1)-|x-a|?|x-1|-|x|+|x-a|≤0?|x-a|≤|x|-|x-1|, 3 1,?,所以|x-a|≤1,即x-1≤a≤x+1, 因为x∈??2?3 1,?恒成立, 由题意,知x-1≤a≤x+1对于任意的x∈??2?1?1 所以≤a≤2,故实数a的取值范围为??2,2?. 2 第二节 不等式的证明 一、基础知识 1.基本不等式 (1)定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. a+b (2)定理2:如果a,b>0,那么≥ab,当且仅当a=b时,等号成立,即两个正数 2的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. a+b+c3(3)定理3:如果a,b,c∈R+,那么≥abc,当且仅当a=b=c时,等号成立. 32.比较法 (1)作差法的依据是:a-b>0?a>b. A (2)作商法:若B>0,欲证A≥B,只需证≥1. B3.综合法与分析法 (1)综合法:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立. (2)分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要证的命题成立. 考点一 比较法证明不等式 11 x-?+?x+?,M为不等式f(x)<2的解集. [典例] 已知函数f(x)=??2??2?(1)求M; (2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|. ??11 [解] (1)f(x)=?1,-2<x<2, ?.?2x,x≥12 1 当x≤-时,由f(x)<2, 2得-2x<2,解得x>-1; 1 -2x,x≤-, 2 11 当-<x<时,f(x)<2恒成立; 22 1 当x≥时,由f(x)<2,得2x<2,解得x<1. 2所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}. (2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1, 从而(a+b)2-(1+ab)2 =a2+b2-a2b2-1 =(a2-1)(1-b2)<0. 因此|a+b|<|1+ab|. [题组训练] 1.当p,q都是正数且p+q=1时,求证:(px+qy)2≤px2+qy2. 解:(px+qy)2-(px2+qy2) =p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2) =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy. 因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p. 所以(px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2. 因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0, 所以(px+qy)2≤px2+qy2.当且仅当x=y时,不等式中等号成立. 2.求证:当a>0,b>0时,ab≥(ab)证明:∵ aabb ab a+b2. ?ab? ?a?=a+b?b?2a-b2a-b2, a?∴当a=b时,??b?=1, a-b2a-ba?a 当a>b>0时,>1,>0,∴??b?b2 >1, a-b2a-ba?a 当b>a>0时,0<<1,<0,∴??b?b2∴ab≥(ab) ab a+b2>1, . 考点二 综合法证明不等式 [典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4;
共分享92篇相关文档