2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：选修4-5 不等式选讲

(2)如果关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围． －2x＋1，x＜－1，??

解：(1)当a＝2时，f(x)＝?3，－1≤x＜2，

??2x－1，x≥2，

????x＜－1，?－1≤x＜2，?x≥2，

不等式f(x)＞x＋2等价于?或?或?，

???－2x＋1＞x＋23＞x＋22x－1＞x＋2???

解得x＜1或x＞3，

故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}．

(2)∵f(x)＝|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，当(x－a)(x＋1)≤0时取等号． ∴若关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，只需|a＋1|＜2， 解得－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)． 7．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3， a13－a

x－?＋?－x?≥即?. ?2??2?2

?x－a?＋?1－x??min＝?1－a?， 又???2??2???22?

1a?3－a所以??2－2?≥2，解得a≥2. 所以a的取值范围是[2，＋∞)．

8．(2018·福州质检)设函数f(x)＝|x－1|，x∈R. (1)求不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集；

3

1，??M，求实数a的取(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集为M，若??2?值范围．

解：(1)因为f(x)≤3－f(x－1)，

?x<1，?1≤x≤2，??

所以|x－1|≤3－|x－2|?|x－1|＋|x－2|≤3??或?或

??3－2x≤31≤3????x>2，

? ?2x－3≤3，?

解得0≤x<1或1≤x≤2或2

故不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集为[0,3]． 3

1，??M， (2)因为??2?3

1，?时，f(x)≤f(x＋1)－|x－a|恒成立， 所以当x∈??2?而f(x)≤f(x＋1)－|x－a|?|x－1|－|x|＋|x－a|≤0?|x－a|≤|x|－|x－1|， 3

1，?，所以|x－a|≤1，即x－1≤a≤x＋1， 因为x∈??2?3

1，?恒成立， 由题意，知x－1≤a≤x＋1对于任意的x∈??2?1?1

所以≤a≤2，故实数a的取值范围为??2，2?. 2

第二节 不等式的证明

一、基础知识

1．基本不等式

(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b

(2)定理2：如果a，b＞0，那么≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数

2的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．

a＋b＋c3(3)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

32．比较法

(1)作差法的依据是：a－b＞0?a＞b.

A

(2)作商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证≥1.

B3．综合法与分析法

(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．

(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．

考点一 比较法证明不等式

11

x－?＋?x＋?，M为不等式f(x)＜2的解集． [典例] 已知函数f(x)＝??2??2?(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.

??11

[解] (1)f(x)＝?1，－2＜x＜2，

?.?2x，x≥12

1

当x≤－时，由f(x)＜2，

2得－2x＜2，解得x＞－1；

1

－2x，x≤－，

2

11

当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立；

22

1

当x≥时，由f(x)＜2，得2x＜2，解得x＜1.

2所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．

(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1， 从而(a＋b)2－(1＋ab)2 ＝a2＋b2－a2b2－1 ＝(a2－1)(1－b2)＜0. 因此|a＋b|＜|1＋ab|. [题组训练]

1．当p，q都是正数且p＋q＝1时，求证：(px＋qy)2≤px2＋qy2. 解：(px＋qy)2－(px2＋qy2) ＝p2x2＋q2y2＋2pqxy－(px2＋qy2) ＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.

因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p. 所以(px＋qy)2－(px2＋qy2) ＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2. 因为p，q为正数，所以－pq(x－y)2≤0，

所以(px＋qy)2≤px2＋qy2.当且仅当x＝y时，不等式中等号成立． 2．求证：当a>0，b>0时，ab≥(ab)证明：∵

aabb

ab

a+b2.

?ab?

?a?＝a+b?b?2a-b2a-b2，

a?∴当a＝b时，??b?＝1，

a-b2a－ba?a

当a>b>0时，>1，>0，∴??b?b2

>1，

a-b2a－ba?a

当b>a>0时，0<<1，<0，∴??b?b2∴ab≥(ab)

ab

a+b2>1，

.

考点二 综合法证明不等式

[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；