华中师范大学2014量子力学-B卷-参考答案

-- -- -- -- --- -- -- -- --- -- -------学号：---- -- --- -- -- -- --- -- -- -- ---- 线 ： ------姓名-------学生---- -- --- -- -- --- 封 -： ----年级----- -- -- --- -- -- -- --- -- -- -- -- 密 --专业：------ -- -- --- -- -- -- --- -- -- --： ）---------院（系---------- 华中师范大学 2014 –2015 学年第一学期 期末考试试卷（B） 课程名称 量子力学 课程编号 83810113 任课教师 题型 简答题 名词解释题 证明题 计算题 总分 分值 12 24 19 45 100 得分 得分 评阅人 一、简答题（共3题，每题4分，共12分） 1. 量子力学基本假设是什么？ 答：（1）量子体系的运动状态由波函数???x,t?完全描述，波函数具有单值性，有限性和连续性，归一化的波函数是概率幅；（2）波函数的时间演化由薛定谔方程描述，i?????x,t??t?H????x,t?，式中H?是体系的哈密顿算符；力学量用线性厄米算符表示，如果在经典力学中它的表达式为F?F(?x,?（3）p)，则在量子力学中表示这个力学量的算符为F??F(?x,?i??)。测量是测量仪器对量子体系的一种作用，在测得体系的力学量F?fk后，体系的状态将由?态突变为F?的本征态?k，称为量子态的塌缩。 2. 哪些实验表明电子具有自旋现象？电子自旋角动量是电子自转产生的吗？ 答：钠黄线的精细结构，复杂塞曼效应，斯特恩-盖拉赫实验都表明电子具有自旋。电子自旋角动量不是电子自转产生的，因为按照电子自转的图像，算得电子表面的线速度会超光速，按照狭义相对论，这是不可以的。 3. 波函数的统计解释及波函数的标准条件 答：t时刻?x附近dx?体积元内发现粒子的概率为???x,t?2dx?。描写粒子的波是概率波，波的强弱反映了在空间某处发现粒子的概率的大小。波函数的标准条件是单值、连续和有限。

得分 评阅人 二、名词解释题（共6题，每题4分，共24分） 1. 态叠加原理 答：若?1,?2,?,?n,?是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加??C1?1?C2?2???Cn?n??（其中C1,C2,?,Cn,?为复常数）也是体系的一个可能状态。当体系处于?态时，发现体系处于?n态的概率是Cn。 2. 隧道效应 答：微观粒子能穿越比它的能量高的势垒的现象，称为隧道效应。它是微观粒子波动性的体现。 23. 全同性原理和泡利不相容原理 答：全同性原理表述为：全同粒子是不可区分的，全同粒子体系的状态不会因为任意两个全同粒子的交换而改变。由于全同性原理，全同粒子体系的总波函数具有交换对称性或反对称性。全同玻色子体系的总波函数是交换对称的，全同费米子体系的总波函数是交换反对称的。对于费米子，如果有两个或两个以上的粒子状态相同，则不可能组成反对称的波函数，这表明，在全同费米子体系中不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，这就是泡利不相容原理。泡利不相容原理是全同性原理的推论。 4. 共振跃迁 答：当周期性微扰的频率不等于两能级间的玻尔频率时，即????mn时，跃迁概率不大；当????mn时，即吸收过程和辐射过程，其跃迁概率随时间而增大，称为共振跃迁。这类似于经典力学中的受迫振动：当外力频率不等于振子固有频率时，振幅始终不大；当外力频率等于振子固有频率时，振幅会变得很大。因而通常把跃迁中的这种现象称为共振跃迁。 5. 分波法的基本思想 答：对于中心力场，角动量是守恒量。应用角动量守恒，把受势场作用前后的定态按分波展开，各分波在散射过程中可以分开来一个一个处理，势场对各分波的效应在于改变分波的相位。 第 1 页(共 4 页)

6. 电子云 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 答：从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是以不同的概率出现在空间各处，这种电子电荷在核外的概率分布称为电子云。 得分 ????（8分） 1. 证明对易关系??Lx,y??ihz。评阅人 三、证明题（共3题，共19分） ???,x?????,p?????,p?????z?zp??y，利用对易关系证明：因为??x??0,??p??0,??x??i????，且Lx?yp的运算法则，得 ???????????L?????????x,y???ypz?zpy,y???ypz,y???zpy,y? ??p?z,y???z?y,y?????(?ih)?ihz??y?p??0?z 2. 证明：厄米算符的本征值必为实数。（5分） ?的本征值谱为离散谱，其本征值方程为 证明：设F ???f? Fkkk*??根据厄米算符的定义??F?d???(F?)?d?，在这个定义式中，令?????k，便有 **????kF?kd???(F?k)?kd? *?的本征值方程带入，得 将F*** fk?k?kd??fk?k?kd? ??* 由于?k?kd??0，故有fk?fk*，证毕。 ?

????， 3. 设电子1、2的自旋分别为：S1, S体系处于对称波函数?s(1)??1/2(S1z)?1/2(S2z)的状态，2证明总自旋角动量z分量的取值为???。（6分） ??S?+S?，把它作用在体系状态?(1)上，利用粒子1的角证明：总自旋角动量z分量算符为Ssz1z2z动量只对粒子1的波函数有作用，对粒子2的波函数没有作用，可得 ??(1)?S??(S)?(S)?(S??S?)?(S)?(S)Szsz1/21z1/22z1z2z1/21z1/22z??(S)]?(S)??(S)[S??(S)]?[S 1z1/21z1/22z1/21z2z1/22z????1/2(S1z)?1/2(S2z)??1/2(S1z)?1/2(S2z)22???1/2(S1z)?1/2(S2z) ??S?+S?的本征态，本征值为???。证毕。 可见，?s(1)是Sz1z2z得分 评阅人 13R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)，求其能量、角22四、计算题（共4题，共45分） 1. 设氢原子处于归一化状态??r,?,???动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（12分） （提示：氢原子能级公式En???es42?2n2） 解：题示的状态是用本征态展开的形式，只包含两个本征态，根据态叠加原理，体系处于这两个本征态的概率分别为：1/4，3/4。 从量子数可以看出，这两个本征态都是n=2的本征态，对应于同一能量，根据氢原子的能级公式，该状态下，体系能量的可能值是E2???es48?2，概率为1；其它取值的概率为0；能量平均值为E2??222?es48?2； 两个本征态都是l=1的本征态，角动量平方的本征值公式L?l(l?1)?，故其可能值为2?，概率为1：其它取值的概率为0；平均值为2?； 两个本征态对应于m=0和m=-1，角动量z分量的本征值公式Lz?m?，故其可能值：0，概率为1/4；2??，概率为3/4；平均值为?3?/4。 第 2 页(共 4 页)