2019一轮北师大版（理）数学教案 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例含解析

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→→

法二：由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的射→→→

影都是CB＝1，所以DE·CB＝|CB|·1＝1，

→→

当E运动到B点时，DE在DC方向上的射影最大，即为DC＝1， →→→所以(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.]

[规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．

2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．

→→→

[变式训练1] (1)已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的射影为( )

32

A．－2 32C.2 B．－35 D．35

(2)(2017·南宁二次适应性测试)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形→→ABC在边BC，AC边上的高，则AD·BE＝( )

333333

A．－2 B.2 C．－2 D.2

→

(1)C (2)A [(1)因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，→→

所以向量AB在CD方向上的投影为

→→AB·CD1532→→→

|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝2.

→52|CD|

→→→→→→

(2)由等边三角形的性质得|AD|＝|BE|＝3，〈AD，BE〉＝120°，所以AD·BE＝3→→→→?1?|AD||BE|cos〈AD，BE〉＝3×3×?－2?＝－2，故选A.]

??

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平面向量数量积的性质 ?角度1 平面向量的模 (1)(2017·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2

且a⊥(a－2b)，则|b|＝( )

A.2 C．22

B．2 D．4

(2)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.

【导学号：57962209】

(1)B (2)5 [(1)由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0.又∵|a－b|＝2，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4，则|b|2＝4，|b|＝2，故选B.

(2)∵|a|＝1，∴可令a＝(cos θ，sin θ)， ∵λa＋b＝0. ??λcos θ＋2＝0，

∴???λsin θ＋1＝0，

2

cos θ＝－??λ，即?1

sin θ＝－??λ.

由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝5.] ?角度2 平面向量的夹角

(1)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为( )

π

A.6 2πC.3 πB．3 5πD．6 (2)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为 ( )

【导学号：57962210】

A.6 C.2

B．3 D．1

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(1)B (2)A [(1)由|a＋b|＝|a－b|两边平方得，a·b＝0，由|a－b|＝2|a|两边平方得，3a2＋2a·b－b2＝0，故b2＝3a2，则(a＋b)·a＝a2＋a·b＝a2，设向量a＋b与a21πa的夹角为θ，则有cos θ＝＝2a2＝2，故θ＝3.

|a＋b||a|

|a|2＋|b|2

2

(2)由题意可知：－1＝a·b＝|a|·|b|cos 120°，所以2＝|a|·|b|≤.即|a|

2＋|b|2≥4，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，

所以|a－b|≥6.]

?角度3 平面向量的垂直

(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉

1

＝3，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )

A．4 9C.4 B．－4 9D．－4 ?a＋b?·a

B [∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0. 31

又4|m|＝3|n|，∴t×4|n|2×3＋|n|2＝0， 解得t＝－4.故选B.]

a·b

[规律方法] 1.求两向量的夹角：cos θ＝|a|·

|b|，要注意θ∈[0，π]． 2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.

3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a. (2)|a±b|＝?a±b?2＝

a2±2a·b＋b2.

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(3)若a＝(x，y)，则|a|＝

x2＋y2.

平面向量在平面几何中的 应用 已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.

[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y).

2分

a??

∵D是BC的中点，∴D?0，2?.

??→→

又∵AE＝2EB，即(x－a，y) ＝2(－x，a－y)，

??x－a＝－2x，a2∴?解得x＝3，y＝3a. ??y＝2a－2y，a?a?→??

0，－a，∵AD＝?－(a,0)＝?， 2?2?????→→?a2?

OE＝CE＝?3，3a?，

??aa2→→

∴AD·CE＝－a×3＋2×3a 11

＝－3a2＋3a2＝0. →→

∴AD⊥CE，即AD⊥CE.

[规律方法] 平面几何问题中的向量方法

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体

10分 12分 4分

8分

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