高等数学下册总复习

1． 曲面x2?4y2?2z2?6上点(2,2,3)处的法线方程为（ ）．

（A）（C）

x?2?1x?2?1??y?2?4y?24??z?33z?33 （B） （D）

x?21x?21??y?2?4y?24??z?33z?33

2． 设D是矩形域：0≤x≤

?4，?1≤y≤1，则??xcos(2xy)d??（ ）．

D（A）0 （B）?12 （C）

12 （D）

14

3． 设L是以A(?1,0)，B(?3,2)及C(3,0)为顶点的三角形域的围界沿ABCA方向，则

?(3x?y)dx?(x?2y)dyL??（ ）．

（A）?8 （B）0 （C）8 （D）20

4． 若幂级数?an(x?2)n在x??5处收敛，则其在x?0处是（ ）．

n?1（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛性不能确定 5． 函数y?x36?Cx（C为任意常数）是微分方程

dydx22． ?x的（ ）

（A）通解 （Ｂ）特解 （C）不是解 （D）是解，但既非通解，又非特解

三、计算下列各题（每题5分，共25分） 1． 设由ln 2． 3．

x?y22?arctanyx确定了y?y(x)，求

dydx．

??(xD2?y)2dxdy，其中积分区域D??(x,y)|x?y?1,x?0?．

2223?Lyds，其中L为摆线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)的一拱（0≤t≤2?）．

2

?4． 判断级数?

5． 求微分方程

1nn?11?a（a?0）的敛散性．

dydx?2y6x?y2的通解．

四、试解下列各题（每题7分，共21分）

1． z?f(x?y,e)，其中f具有连续二阶偏导数，求

2． 将函数f(x)?

3． 求微分方程yy???2(y??y?)满足y(0)?1，y?(0)?2的特解．

五、（本题满分8分）求锥面z?x?y被柱面z?2x所割下部分的曲面面积．

22222xy?z?x?y2．

1x?4x?32展开成x?1的幂级数．

2

y六、（本题满分6分）设z?x（x?0，x?1），证明：

x?zy?x?1?zlnx?y?2z．

附参考答案： 一、1.222.233.24.12ln1?x1?x5.y?c1e?2x?c2e3x

二、1.Bdydx2.Cx?yx?y3.A4.C5.D

三、1．?

2．

?5

3．

25615a

34．a≤1时发散，a＞1时收敛 5．x?12y?cy

23四、1．

?z?x?y2??4xyf11?2(x?y)e?22xyf12?(1?xy)exyf2?xye2xyf22

2．

1x?4x?32??n?1(?1)n?11?11?n?n?1?n?1?(x?1)，|x?1|?2 2?24?3．y?tan(x??4)

五、A?2?

六、证明略

试卷二

一、填空题（每题4分，共20分）

1． 设F(u,v,w)是可微函数，且Fu(2,2,2)?Fw(2,2,2)?3，Fv(2,2,2)??6，曲面

F(x?y,y?z,z?x)?0通过点(1,1,1)，则过这点的法线方程是

2． 已知f(x,y)在xOy面上连续，且f(0,0)?0，则limt?01??t22??f(x,y)dxdy?2

x?y?t23． L是xOy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为?(x,y)，则L关于过原点且垂直于

xOy面的直线的转动惯量可用曲线积分表示为 （其中?(x,y)为连续函数）．

?4． 级数?n?1(x?2)nn的收敛区间是

5． 微分方程y???2y??5y?0的通解是 二、选择题（每题4分，共20分） 1． 设z?2x?y2，则

?z?y． ?（ ）

（A）y?2x?yln4 （B）(x?y)?2yln4 （C）2y(x?y2)ex?y （D）2y4222x?2y