高等数学下册总复习

一、基本概念 1．多元函数

（1）知道多元函数的定义

n元函数：y?f(x1,x2,?,xn)

（2）会求二元函数的定义域

1°：分母不为0； 2°：真数大于0；

3°：开偶次方数不小于0；

4°：z?arcsinu或arccosu中|u|≤1 （3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限

x?x0y?y0limf(x,y)?A

这里动点(x,y)是沿任意路线趋于定点(x0,y0)的． （1） 理解二重极限的定义

（2） 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； （3） 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性

（1）理解定义：limf(P)?f(P0)．

P?P0（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论； （3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。 二、偏导数与全微分

1．偏导数

（1）理解偏导数的定义（二元函数）

?z?x?limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x?x?0

?z?y?limf(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y

?y?0（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系． （3）求偏导数法则、公式同一元函数． 2．高阶偏导数

（1）理解高阶偏导数的定义． （2）注意记号与求导顺序问题．

（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：3．全微分

?z?x?y2??z?y?x2．

（1）知道全微分的定义

若?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)可表示成A??x?B??y?o(?)，则z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微；称A??x?B??y为此函数在点(x0,y0)处的全微分，记

为dz?A??x?B??y．

（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：

函数可微，偏导数必存在；

（A??z?x，B??z?y；dz??z?xdx??z?ydy）

偏导数存在，不一定可微（?z?dz是否为o(?)）． 偏导数连续，全微分必存在．

方向导数、梯度，只对快班要求．

三、多元复合函数与隐函数求导法则 1．多元复合函数的求导法则 （1）

?z?x??z?u?z?v??? ?u?x?v?x?z?y??z?u?z?v ????u?y?v?y（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．

（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法．

2．隐函数的求导公式 （1）一个方程的情形

若F(x,y)?0确定了y?y(x)，则

dydx??FxFy；

若F(x,y,z)?0确定了z?z(x,y)，则（2）方程组的情形

?z?x??FxFz，

?z?y??FyFz．

?F(x,y,z)?0?y?y(x)若?能确定?，则由

G(x,y,z)?0z?z(x)????Fx?Fy??Gx?Gy???dydxdydx?Fz??Gz?dzdxdzdx?0?0

可解出

dydx与

dzdx；

若??u?y?F(x,y,u,v)?0?G(x,y,u,v)?0确定了u?u(x,y)，v?v(x,y)，象上边一样，可以求出

?u?x，

?v?x及，

?v?y．

四、多元函数微分法的应用 1．几何应用

（1）空间曲线的切线与法平面方程

1°：曲线?：x??(t)，y??(t)，z??(t)，t?t0时，?上相应点(x0,y0,z0)处的切线方程：

x?x0?y?y0?z?z0??(t0)??(t0)??(t0)

法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0

2°：曲线?：??y??(x)?z??(x)，则点(x0,y0,z0)处的切线方程：

x?x01?y?y0??(x0)?z?z0??(x0)

法平面方程：(x?x0)???(x0)(y?y0)???(x0)(z?z0)?0

3°：曲线?：??F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0，则点P(x0,y0,z0)处的切线方程为

y?y0FzGzFzGzx?x0FyGyFzGzP?FxGxFxGxP?Pz?z0FxGxFyGyP

法平面方程：

FyGyFzGzP?(x?x0)??(y?y0)?FxGxFyGyP?(z?z0)?0

（2）空间曲面的切平面与法线方程

1°：曲面?：F(x,y,z)?0，点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：

Fx(x0,y0,z0)?(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)?(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)?(z?z0)?0

法线方程：

x?x0Fx?y?y0Fy?z?z0Fz

2°：曲面?：z?f(x,y)，在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：

z?z0?fx(x0,y0)?(x?x0)?fy(x0,y0)?(y?y0)

法线方程为：2．极值应用

x?x0fx?y?y0fy?z?z0?1

??z?0???x（1）求一个多元函数的极值（如z?f(x,y)）：先用必要条件?，求出全部驻点，

?z?0???y?再用充分条件求出驻点处的zxx，zyy与zxy；

2AC?B?0，A?0时有极大值，A?0时有极小值；

AC?B?0时无极值．

2（2）求最值

1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2°：有实际意义的最值问题． （3）条件极值

求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．

如：u?f(x,y,z)在条件?1(x,y,z)?0与?2(x,y,z)?0下的极值时，取

F(x,y,z;?1,?2)?f(x,y,z)??1?1(x,y,z)??2?2(x,y,z)

?Fx?F?y?解方程组?Fz???1???2?0?0?0，求出x，y，z ?0?0则(x,y,z)就是可能的极值点；再依具体问题就可判定(x,y,z)为极大（或极小）值点．

第九章 重积分