线性代数教案

∵ ki?0 等式两端同时除以?ki， 则?i??kkkk1?1???i?1?i?1?i?1?i?1???m?m kikikiki即?i被其它向量线性表示出来了。

举例：（1）线性方程组有解 ? 常向量b可以被系数矩阵的列向量组?1,?2,??n线性表示出来

（2）几何空间中的例子

（3）线性方程组AX?b增广矩阵的行向量组如果是线性相

关的说明：其中至少一个方程可以用其它方程进行线 性运算（方程组的初等变换）得到，是多余的方程。

（4）一组向量?1,?2,??m是线性无关的?要想使得它们的线性组合

?k?ii?1mi?k1?1?k2?2???km?m?0成立，必须所有的

ki?0(i?1,2,?m)?线性方程组AX?b只有零解（其中A的列向量组是；特别的，当m?n时——即n个n维向量构成的向量组线性无?1,?2,??m）

关?detA?0（或者A是可逆的，满秩的等等）

下面进一步分析和讨论向量组的线性相关性

定理5 向量组?1,?2,??m是线性相关?它所构成的矩阵A???1,?2,??m?的秩小于向量

的个数m；向量组线性无关

?R(A)?m

Pr. （1）向量组?1,?2,??m是线性相关?齐次线性方程组AX?O有非零解?R(A)?m（上节定理7）

（2）向量组线性无关?齐次线性方程组AX?O只有零解?R(A)?m（上节定理10）

例题（见教材P-88，89例5、6）

定理6 （1）若向量组?1,?2,??m是线性相关的，则向量组

?1,?2,??m,?m?1 也是线性相关的；若向量组?1,?2,??m,?m?1 是线性无关的，

则向量组?1,?2,??m也是线性无关的。

（2）对m个n维向量组成的向量组，当n?m时，向量组一定是线性相关的，特别

的n?1个n维向量线性相关。 （3）若向量组?1,?2,??m是线性无关的，而?1,?2,??m,?线性相关，则向量?必

21

能被向量组?1,?2,??m线性表示，即存在k1,k2?km 使得

??k1?1?k2?2???km?m

Pr.（1）①若向量组?1,?2,??m是线性相关的

则存在不全为0的数k1,k2?km 使得线性组合

?k?ii?1mi?k1?1?k2?2???km?m?0 成立

∴ k1?1?k2?2???km?m?0??m?1?0

∵ k1,k2?km不全为0 ∴ k1,k2?km，0当然不全为0

∴ ?1,?2,??m,?m?1线性相关

②若向量组?1,?2,??m,?m?1 是线性无关的，要证明向量组?1,?2,??m也是线性

无关的

反证法：假设?1,?2,??m线性相关，则由（1）知向量组?1,?2,??m,?m?1也必定

线性相关，矛盾。

（1） 对m个n维向量组成的向量组?1,?2,??m，当n?m时，即向量的个数多于向量的维

数时

考虑向量组?1,?2,??m的线性组合x1?1?x2?2???xm?m?0 ∵ 该组合的等价式子为(?1,?2,??m)X?AX?0

当n?m时方程组（m个未知量，＞n个方程的情况）有无穷个解，即存在不全为0的数使得它们与?1,?2,??m的线性组合等于0成立，故向量组?1,?2,??m线性相关。 特别的m?n?1时上述结论可以表述为任何n?1个n维向量都是线性相关的；反过来叙述是不存在n?1个线性无关的n维向量。 （3）∵ ?1,?2,??m,?线性相关

∴ 存在不全为0的数k1,k2?km以及?使得

???k1?1?k2?2???km?m?0

且??0，∵ 若??0则会有k1?1?k2?2???km?m?0 而∵k1,k2?km以及?不全为0

22

∴ k1,k2?km不全为0 就会有?1,?2,??m线性相关，矛盾 ∴??0 ???k1??1?k2??2???km??m 证明完毕

§4.3 向量组的秩

教学目的：理解向量组的最大无关组及秩的概念，掌握向量组秩的求法 教学重点：向量组秩的求法

教学难点：最大无关组的定义及等价定理

导入 ：在前两节讨论向量组的线性组合和线性相关性时，矩阵秩起了重要作用，为进一步讨论，把秩的概念引入到向量组。 新授：

定义6 设向量组?1,?2,??m是一组n维向量，若该向量组中的r个向量?k1,?k2,??kr满足 （1）?k1,?k2,??kr是线性无关的

（2）而该组向量中的任何r?1个都线性相关

则称向量组?k1,?k2,??kr是原向量组?1,?2,??m的一个极大无关组。极大无关组

包含向量的个数r称为是向量组?1,?2,??m的秩，记作RA。规定只包含0向量的向量组的秩为0。

定理7 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

Pr. （本定理要说明的是当矩阵的秩为r时，它的列（行）向量组的秩也一定为r，即：向

量组中一定包含r个线性无关的向量，但任何r+1个向量都是线性相关的）

首先说明存在r个线性无关的向量：

设A?(?1,?2,??m)R(A)?r

∴ 矩阵A存在r阶非零子式Dr，不妨设为A的前r行和前r列

（否则可以经过行和列的对换使然）

由前面结论可知这个子式的列向量组是线性无关的

?a11??a12??a1r???????即???,???,????线性无关， ?a??a??a??r1??r2??rr??a11??a12??a1r?????????????????a??a??a?r1r2?,??,?,?rr?也线性无关。则向量组?（解释若相关，则必能推出?ar?11??ar?12??ar?1r?????????????????a??a??a??n1??n2??nr?

23

?a11??a12??a1r??????????,???,????也相关） ?a??a??a??r1??r2??rr?∴ 存在r个线性无关的向量

再来说明任何r?1个向量都线性相关

反证法：若在向量组?1,?2,??m中存在r?1个线性无关的向量， 不妨设为 ?1,?2,??r?1，由它们排列成的矩阵为

A?(?1,?2,??r?1) 根据P88定理4向量组?1,?2,??r?1线性无关的充分必要

~条件是R(A)?r?1，

而A的任何r?1阶子式都是A的r?1阶子式，必定为0

∴ 矛盾。

同理可以证明：矩阵的秩也等于它的行向量组的秩。 从上面结论可见：

①对于秩为r的矩阵来说，该矩阵的非0子式所在的列（行）向量 即为矩阵向量组的极大无关组。

②矩阵的秩与其列（行）向量组的秩相同。

③由于秩为r的矩阵的r阶非0子式不是唯一的，由上①有结论：向量组的极大无关组也不是唯一的。

④任何一个向量组与它的极大无关组是等价的。（说明证明过程）

举例说明极大无关组也不是唯一的以及任何一个向量组与它的极大无关组是等价的。（以Rn~~R3为例）

推论（极大无关组的等价定义）： ?1,?2,??r是向量组?1,?2,??m中

的一个子组，如果它满足 （1）?1,?2,??r是线性无关的，

（2）?1,?2,??m中的任何一个向量都能被它们线性表示 则 ?1,?2,??r是向量组?1,?2,??m中的一个极大无关组。 Pr. 要证明?1,?2,??r是向量组?1,?2,??m中的一个极大无关组，

需要说明它们满足?1,?2,??r是线性无关的，并且任何r?1个向 量都是线性相关的。

?1,?2,??r是线性无关是定理条件，所以只要说明第二点。

反证法：假设存在r?1个线性无关的向量，记为?1??r?1

24