线性代数教案

?2?0A???0??01?131000018104?0??，有R（A）= 3 。 2??0???????????????????????????????????42分钟 定理4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。

定理4给出求一般矩阵秩的方法，就是用初等变换将一般的矩阵化为阶梯形矩阵。

050??32?3?23?6?1?的秩。 例5 求矩阵A???2015?3???16?4?14??矩阵秩的基本性质：设A是m×n矩阵，

（1）0 ≤ R（A）≤ min{m，n}；

（2）R（AT）= R（A）；

（3）若A←→B，则R（B）= R（A）。 （4）若P、Q可逆，则R（PAQ）= R（A）。 。

§3.3 线性方程组的解

教学目的：使学生了解和掌握线性方程组的解的基本概念以及利用高斯消元法解线性方程组 教学重点：利用高斯消元法解线性方程组 教学难点：高斯消元法

一、导入

在工程技术领域中,有许多问题的讨论往往在最后归结为求解线性方程组,因此研究一般的线性方程组在什么条件下有解,以及在有解时如何求出它全部的解，总是工程技术中提出的需要解决的一个十分重要问题,而研究一般的线性方程组的求解问题,正是线性代数的主要内容之一.在这章里我们将借助矩阵这个工具对一般线性方程组的相容性问题及解的结构问题进行讨论，介绍向量的概念、性质及方程组解的向量表示。 二、新授

（一）非齐次线性方程组和齐次线性方程组. 一般的线性方程组是指形如

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 (3.1) ????????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm的线性方程组.若记

?a11?aA??21????am1

a12a22?am2?a1n??b1??x1??b??x??a2n?2?,X???,B??2? ???????????????amn??bm??xn?13

则方程组(3.1)可写成矩阵形式 AX=B 。

当B≠0时称为非齐次线性方程组,当B=0时即AX=0称为齐次线性方程组.

(二) 高斯消元法

定理3.1: 若将线性方程组AX=B的增广矩阵A??AB?用初等变换化为?UV?,则AX=B与UX=V是同解方程组.

证明:由于对矩阵施行一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵,因此存在初等矩阵

B???UV?, PkPk?1?P1?A1,P2,?,Pk,使得 P记PkPk?1?P1?P,由初等矩阵的可逆性知P可逆.若设X1为AX=B的解,即AX1=B,两边同时左乘矩阵P,有 PAX1=PB (PA)X1=PB 即 UX1=V 于是X1是方程组UX=V的解.反之,若X2为UX=V的解,即UX2=V

两边同时左乘矩阵P-1，得 P -1UX2=P -1V （P -1U）X2=P -1V 即AX2=B X 2亦为AX=B的解。

综上所述，AX=B与UX=V的解相同，称之为同解方程组。 证毕。 2、高斯消元法：

由矩阵的理论可知，我们应用矩阵的初等变换可以把线性方程组（3.1）的增广矩阵A化为阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵),根据定理3.1可知阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵)所对应的方程组与原方程组(3.1)同解,这样通过解阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵)所对应的方程组就求出原方程组(3.1)的解,这种方法称为高斯消元法.

?x1?x2?x3?x4?0?例1解线性方程组?2x1?x2?3x3?2x4??1

?3x?2x?x?2x?4234?1解:将方程组的增广矩阵用初等变换化为标准形

1?10??1?11?10?r?2r?1?121??r??0?3?3r1A??2?13?2?1??110?1??????24?1?454??3?2?1??0?1?10??1?1?1?11?r3????053?r2?r????0110?1??1?????55??00?5??001??1?100?100r1?r3??r??0102?r31?r2?r????01010????????001?1?1???0011?10?10?1?? 1?1?1??11?10???1?1??这时矩阵所对应的方程组为

?x1?????x4x2x3?x4?x4?1?0 ??1?x1?1?x4?将x4移到等号右端得 ?x2?0?x4

?x??1?x4?3

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?x1?1?t?x?0?t?2 若令x4取任意常数t,则得 ? , (3.2)

x??1?t?3??x4?t?x1??1???1??x??0???1?2即 ??????t??

?x3???1??1????????x4??0??1? 其中x4称为自由未知量(或自由元),(3.2)式称为方程组的一般解或通解.

例2求线性方程组的解

?x1?x2?2x3?1?3x?x?2x?3?123 ?

x?2x?x??123?1??2x1?2x2?3x3??5解:

21?21??1?1?1?1?1?121?r2?3r1?3?r3?r1?04?4??0?12301?104?2r1??r????????A??????1?2?0?1?1?2??01?1?112???????2?2?3?500?7?70011??????

11??10?1000??1000?r1?r4?01?10?r2?r4?0101??0101?r1?r23?r23?2r43?r4??r???r???r???????????0022??0000??0011???????001100110000??????根据定理3.1知,矩阵对应的方程组

?x1?0? ?x2?1

?x?1?31r24(?1)r31(?)r47与原方程组同解,因此原方程组有唯一的解.

例3求解线性方程组

?x1?2x2?3x3?2x4?1??3x1?x2?5x3?x4??1 ?2x?x?2x?3x?3234?1

解:

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21?r?3r?1?2321??1?2321??r??0?3?2r1A??3?15?1?1??5?4?7?4??????12?33?5?4?71??2??0?

1?2321???3?r2?r????05?4?7?4???0005??0?根据定理3.1知,矩阵所对应的方程组

?x1?2x2?3x3?2x4?1? ?5x2?4x3?7x4??4 (3.3)

?0?x4?5?与原方程组同解.但方程组(3.3)由最后一个方程可知它无解,故原方程组无解。

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