构造法待定系数法求一类递推数列通项公式。知识讲解

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构造法、待定系数法求一类递推数列通项公式

陕西省周至中学 尚向阳 邮编710400

摘要：求数学通项公式是学习数列时的一个难点，在教学过程中，笔者发现求解递推数列通项公式是学生学习的难点，这也是高考考查的重点、热点问题，如何来突破这个难点，很好的解决这个问题，其核心思想是构造新的数列，转化为学生熟悉的等差数列或等比数列来解决，下面笔者重点介绍用构造法和待定系数法来求下列六类递推数列模型通项公式的解决策略。

关键字：数列、数列通项、构造法、待定系数法、叠加法

由等差数列联想推广到的递推数列模型： 【模型一】an?1?kan?b （kb?0）。

（1） 当k?1时，an?1?an?b?{an}是等差数列，an?b?n?(a1?b)

{an?b}k?1

（2） 当k?1时，采用待定系数法，构造新的数列---等比数列

解：由已知k?1时，可设an?1?m?k(an?m) ∴ an?1?kan?km?m

m?bk?1

比较系数：km?m?b ∴

{an?∴构造 新的数列

an?bb}a1?k?1是等比数列，公比为k，首项为k?1

∴

bbbb?(a1?)?kn?1an?(a1?)?kn?1?k?1k?1k?1k?1 ∴

例1：已知{an}满足a1?3，an?1?2an?1求通项公式。 解：设an?1?m?2(an?m) an?1?2an?m ∴ m?1 ∴ {an?1?1}是以4为首项，2为公比为等比数列

n?1n?1a?2?1 a?1?4?2nn∴ ∴

【模型二】叠加法（或迭代法）求解an?1?an?f(n)

由已知an?1?an?f(n)，若f(n)可求和，则可用叠加（或迭代法）消项的方法求解。 例2：已知数列{an}中a1?1，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5；

（II）求{ an}的通项公式.

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解：?a2k?a2k?1?(?1)k，a2k?1?a2k?3k

?a2k?1?a2k?3k?a2k?1?(?1)k?3k，即a2k?1?a2k?1?3k?(?1)k ?a3?a1?3?(?1)，

a5?a3?32?(?1)2

…… ……

a2k?1?a2k?1?3k?(?1)k

将以上k个式子相加，得

31a2k?1?a1?(3?32?????3k)?[(?1)?(?1)2?????(?1)k]?(3k?1)?[(?1)k?1]

22将a1?1代入，得

a2k?1?a2k1k?11?3?(?1)k?1， 2211?a2k?1?(?1)k??3k?(?1)k?1。

22?1n?1?1n212??3??(?1)?1(n为奇数)?2经检验a1?1也适合，?an??2n n?1?32?1?(?1)2?1(n为偶数)?2?2

【模型三】采用待定系数法，构造新的数列求：an?1?kan?f(n) （k?0,1），当f(n)?an?b，即f(n)为n的一次函数模型。

则可设an?1?A(n?1)?B?k(an?An?B)

∴ an?1?kan?(k?1)An?(k?1)B?A

?(k?1)A?abaaB???A?2k?1(k?1)(k?1)B?A?b?k?1∴ 解得：， ∴ {an?An?B}是以a1?A?B为首项，k为公比的等比数列

n?1a?An?B?(a?A?B)?kn1∴

n?1a?(a?A?B)?k?An?B 将A、B代入即可 n1∴

例3.设数列?an?：a1?4,an?3an?1?2n?1,(n?2)，求an.

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解：设bn?an?An?B，则an?bn?An?B，将an,an?1代入递推式，得

bn?An?B?3?bn?1?A(n?1)?B??2n?1?3bn?1?(3A?2)n?(3B?3A?1)

??A?1?A?3A?2????

B?1??B?3B?3A?1??取bn?an?n?1…（１）则bn?3bn?1,又b1?6，故bn?6?3n?1?2?3n代入（１）得an?2?3n?n?1

说明：（1）若f(n)为n的二次式，则可设bn?an?An2?Bn?C;

(2)本题也可由an?3an?1?2n?1 ,an?1?3an?2?2(n?1)?1（n?3）两式相减得an?an?1?3(an?1?an?2)?2转化为bn?2?pbn?1?qbn求之.

同理可以求an?1?kan?f(n)，k?0,1时， 当f(n)为n的二次、高次函数模型，求解策略仍采用待定系数法，方法相同在此不赘述。

n【模型四】构造法求：an?1?kan?f(n) k?0,1时，当f(n)?q（q?0，1），即f(n)为指数

函数模型

an?1kan1??n?n?1n?1qqq 由已知可得：等式两边同时除以q 则得qCn?ank1C?C?qn 则n?1qnq ∴ {Cn}可归为an?1?kan?b型求解

令

511,an?1?an?()n?1，求an。 632112解：在an?1?an?()n?1两边乘以2n?1得：2n?1?an?1?(2n?an)?1

32322令bn?2n?an，则bn?1?bn?1,解之得：bn?3?2()n

33b1n1n所以an?n?3()?2() n232由等比数列联想推广得到的递推数列模型：

例4.已知数列?an?中，a1?【模型五】构造法求： an?1?f(n)?an型。

（1）若f(n)是常数时，可归为等比数列。

（2）若f(n)可求积，可用叠乘法、迭代法累积约项的方法化简求通项。

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例5：已知数列?an?中，a1?1，nan?1?2(a1?a2?...?an)?n?N*?． 求数列?an?的通项an；

解：由已知a1?1，nan?1?2(a1?a2?...?an)?n?N*?可得a2?2,a3?3,a4?4

nan?1?2(a1?a2?...?an) ① (n?1)an?2(a1?a2?...?an?1) ②

①—②得nan?1?(n?1)an?2an

an?1n?1? ann即：nan?1?(n?1)an，

所以an?a1a2a3an23n...?1...?n(n?2) a1a2an?112n?1所以an?n(n?N*)

m?an?1m?an?1型。km?0

【模型六】构造---倒数法求：

an?k?11111k?k(?)?k??an?1m ∴ anan?1m 考虑函数倒数关系有anCn?1an 则{Cn}可归为an?1?kan?b型。

an?4?4an?1（n?2）求an。

令

例6. 已知{an}中，a1?4，

an?1?2?2?1解：

42(an?2)?anan

∴ an?1?21?an11??2(an?2)2an?2（n?1） 11?an?22（n?1）

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