高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦、余弦

和正切公式教师用书

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β，(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，(S(α＋β)) tan α－tan βtan(α－β)＝，(T(α－β))

1＋tan αtan βtan α＋tan βtan(α＋β)＝.(T(α＋β))

1－tan αtan β2．二倍角公式

sin 2α＝2sin_αcos_α；

cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα； 2tan αtan 2α＝. 21－tanα【知识拓展】

1＋cos 2α1－cos 2α22

1．降幂公式：cosα＝，sinα＝.

222．升幂公式：1＋cos 2α＝2cosα，1－cos 2α＝2sinα.

3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝a＋bsin(x＋φ)，其中sin φ＝222

2

2

2

2

2

ba2＋b2

，cos φ＝

aa2＋b2

.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( × )

1

(3)若α＋β＝45°，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β.( √ ) (4)对任意角α都有1＋sin α＝(sin ＋cos ).( √ )

22(5)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.( × ) (6)在非直角三角形中，tan A＋tan B＋tan C ＝tan Atan Btan C．( √ )

αα2

1．(教材改编)sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是( ) A.C.2

23 2

1B. 2D．－

2 2

答案 A

解析 sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°＝sin(18°＋27°)＝sin 45°＝cos 40°

2．化简等于( )

cos 25°1－sin 40°A．1 B.3 C.2 D．2 答案 C

cos 40°

解析 原式＝ cos 25°1－cos 50°cos 40°cos 40°

＝＝＝2. cos 25°·2sin 25°2

sin 50°2

3．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________. 答案

3

2. 2

tan 20°＋tan 40°

解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，

1－tan 20°tan 40°∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，

∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝3.

4．(2016·浙江)已知2cosx＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________. 答案

2 1

2

2

解析 ∵2cos2

x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x ＝2?

?2?2cos 2x＋22sin 2x???

＋1＝2sin?

?π?2x＋4???＋1

＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝2，b＝1.

第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

题型一 和差公式的直接应用

例1 (1)(2016·杭州模拟)已知sin α＝3π

5，α∈(2

，π)，则

cos 2απ

＝________.

2sinα＋

4

(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( ) A．－

22

B.22

C.12

D．－12

答案 (1)－7

5 (2)B

22

解析 (1)

cos 2α＝

cosα－sinα

2sinα＋

π

24

2

2sin α＋2

2

cos α＝cos α－sin α，

∵sin α＝3π

5，α∈(2，π)，

∴cos α＝－47

5，∴原式＝－5.

(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1， 可得tan A＋tan B1－tan Atan B＝－1，即tan(A＋B)＝－1，

又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π

4，

则C＝π4，cos C＝22

.

思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．

3

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

32

(1)(2016·全国丙卷)若tan α＝，则cosα＋2sin 2α等于( )

4

644816A. B. C．1 D. 252525

π142cosθ－1(2)(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，)，且sin θ－cos θ＝－，则

44π

cos＋θ2

4等于( ) A.2433 B.3 C.4 D.32 答案 (1)A (2)D

2

解析 (1)tan α＝32

cosα＋2sin 2α4，则cosα＋2sin 2α＝cos2α＋sin2

α ＝1＋4tan α64

1＋tan2

α＝25. (2)由sin θ－cos θ＝－14π7

4，得sin(4－θ)＝4

， ∵θ∈(0，π

4)，

∴cos(π4－θ)＝34.

2cos2

θ－1cos 2θsinπ

－2θ＝2

cosπ＝

4＋θsinπ4

－θsinπ

4

－θsin[2π

＝4－θ]

＝2cos(π－θ)＝3

，故选sinπ42D.

4－θ题型二 和差公式的综合应用 命题点1 角的变换

例2 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝3

5

，则cos β等于( A.2525 B.255 C.2525525或5

D.5或525

(2)已知cos(α－π47π

6)＋sin α＝53，则sin(α＋6)的值是________．

答案 (1)A (2)－4

5

) 4