第八届苏北数学建模联赛B题一等奖获奖论文 - 旅游路线的优化设计模型 - 图文

2011年第八届苏北数学建模联赛

题 目 旅游路线的优化设计模型 摘要

本文研究了旅游路线的优化问题，通过上网搜索了旅游路线、车次（航班）、门票等有关数据，并通过Lingo软件处理了数据。全文主要运用了贪婪法、线性规划法和图论hamilton圈等方法，分别建立了旅游路线的优化设计模型。

模型一：考虑车费、景点费、车次衔接、旅游路线最短等因素，使用最优化方法和线性规划法，建立总费用最小的最优路线目标函数：

1111111111MinA???cijxij+??xij?bi?bj?+??xij?di?dj?，

2i?1j?12i?1j?1i?1j?1利用Lingo软件求解出最低费用为2924元时的最优路线: 徐州→常州→舟山→黄山→

九江→武汉→西安→洛阳→祁县→北京→青岛→徐州。

模型二：建立新约束条件和目标函数的线性规划模型：

11111111111111MinT???tijxij???xij?ti?tj?+??xij?ei?ej?，

2i?1j?12i?1j?1i?1j?1利用了Lingo软件求解出最短时间路线，但受“车次的时间衔接”等现实条件约束需对

其作适当调整，最终得到最少时间为9天的旅游路线: 徐州→青岛→常州→舟山→黄山→北京→洛阳→西安→祁县→武汉→九江→徐州。

模型三：使用图论Hamilton-圈原理，建立费用固定下游览最多景点的最优路线模型，得到景点数为7个的最优路线：徐州→常州→黄山→九江→武汉→西安→洛阳→祁县→徐州。

模型四：考虑交通班次有无、时间衔接矛盾等实际条件，利用贪婪法建立模型，通过求取局部最优解最终确定一条游览6个景点的较优路线：徐州→北京→祁县→常州→武汉→西安→洛阳→徐州。

模型五：结合模型三、四，建立约束条件式（5.5.1.1）、（5.5.1.2），利用贪婪法求解出一条包含6个景点较优路线：徐州→常州→黄山→武汉→洛阳→祁县→徐州。

关键词 ：Lingo软件 最短路线 贪婪法 线性规划 Hamilton圈

1111一． 问题的重述

随着人们生活水平的提高，人们越来越喜欢旅游这项活动。徐州的一位旅游爱好者，想在五一期间到全国一些著名景点旅游。由于跟着旅游团会受到若干限制，所以他（她）打算自己作为背包客旅游。在出游之前他（她）选择了全国十个省市的旅游景点，作为五一的旅游目的地，分别如下： 徐州，山东(青岛)，北京（八达岭），山西（祁县），陕西（西安），湖北（武汉），江西（九江），安徽（黄山），浙江（舟山），江苏（常州），河南（洛阳） 景点分布如图：

（景点分布图）

由于旅游时会受到多种实际因素影响，如：游览景点的数目，旅游的时间，旅游者的经济状况等

所以产生了如下的问题：

一．为旅客设计合适的旅游线路，在不受时间约束的情况下，使旅客花最少的钱游览全部的景点。

二．如果旅游费用不限，旅客想游览十个景点，那么需要设计一个最优的路线，使旅客花费最少的时间。

三．如果旅客受到旅游费用的限制，只带来2000元，他（她）想游览尽可能多的景点，要想满足该条件，我们必须设计一条合适的路线，使旅客满意。

四．在不考虑旅游费用的情况下，旅客想在五天的时间里游览尽可能多的景点，则要求我们设计一条满足要求的路线。

五．在旅游的时间和旅游的费用受到限制时，要想游览较多的景点，则在满足要求的情况下，设计一条使旅客满意的旅游路线。

二． 符号说明

i,j--第i个景点或第j个景点， i,j?1,2,......9,10,11

分别表示徐州，山东(青岛)，北京（八达岭），山西（祁县），陕西（西安），湖北

（武汉），江西（九江），安徽（黄山），浙江（舟山），江苏（常州），河南（洛阳）

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ti--旅客在第i个景点的逗留时间（包括旅客从车站到达景点所花费的行车时间和游览景点的停留时间）；

bi--旅客在第i个景点的门票消费费用；

tij--旅客从第i个景点到第j个景点路途中所花费的时间；

cij--旅客从第i个景点到第j个景点所花费的交通费用，不包括路途中的其他费用；

?1旅客从第i个景点到第j个景点 ； xij??0其他?ei--旅客可能在第i个景点的住宿时间；

di--旅客在第i个景点的消费，包括住宿费和吃饭的费用；

三． 问题的分析

根据对题目的理解，我们知道问题的求解是在满足每题要求的情况下，要设计一条

最优的路线，从而使旅客花费的钱最少或使用的时间最短或游览的景点数最多。所以我们需要对每一个问题进行分析。 3.1 问题一的分析：

问题一要求我们设计合适的路线，在不受时间限制的情况下，让旅客花最少的钱游览完十个景点。在满足景点约束的条件下，我们使用货郎担问题解决办法和Lingo软件，设计出一条最优的旅游路线，让旅客花的费用最少。 3.2 问题二的分析：

问题二改变了目标，即要求我们游览完十个景点后，使旅客花费的时间最短，且旅游费用不限。在满足这些条件下，我们可以选择路线较短的行走或使用较快的交通工具等，通过分析我们使用Lingo软件，设计较优的路线。那么根据这些我们要设计一条较优的路线，满足旅客的要求。 3.3 问题三的分析：

问题三给了我们确定的旅游费用，时间没有具体的限制，要旅客完成尽可能多的景点游览。通过对题目的理解，我们可以选择在满足旅游费用的情况下，用图论法和Hamiltom-圈法，使用较便宜的交通工具，但同时要满足住宿费的限制。 3.4 问题四的分析：

问题四要求在五天的时间里，使旅客尽可能的游览较多的景点，在这里旅游的费用没有确切的限制。根据对题目的理解，我们可以选择使用较快的交通工具或选择较短的路线行走，则我们使用贪婪法对问题进行求解，从而可以设计两条较优的路线，供旅客选择。

3.5 问题五的分析：

可以看出问题五是问题三和问题四结合起来的题，本题受到时间和旅游费用的约束，在这种情况下要想游览较多的景点，我们可以选择交通费用较少，使用时间较短的路线行走。结合贪婪法和图论法，这样我们可以设计一条较优的路线，使游览的景点最

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多。

四． 模型假设

1.假设旅客到达一个城市后，从车站到旅游景点的时间和费用，算在旅客在景点的停留时间和停留时所花费的费用；

2.旅行中没有意外情况的发生，如：交通堵塞、航班（车次）的推迟、天气影响等； 3.旅客能够成功订购车票和景点门票;

4.假设景点的开放时间为8：00至18：00; 5.城际交通出行可以乘火车（含高铁）、长途汽车、飞机（不允许包车和包机）：

五． 模型建立及求解

5.1 模型一的求解：

5.1.1目标函数的确立：

根据题目，我们有这样的理解：在访问一个城市后必须要有一个即将访问的确切城市；访问城市j前必须要有一个刚刚访问过的确切城市，且是一次“巡回”则

?xi?1nij，?xij?（为了避免产生子巡回，1i,j?1，2，3??1011，）?（1i,j?1，2，3，??10，11）j?1n我们引入额外变量ui（i=1，2，3........n）附加到问题中，则附加下面形式的约束条件：

ui?uj?nxij?n?1 2 ?i?j?n

为了证明该约束条件有预期的效果，必须证明： （1） 任何含子巡回的路线都不满足该约束条件； （2） 全部巡回都满足该约束条件 首先证明（1）：

用反证法。假设还存在子巡回，也就是说至少有两个子巡回。那么至少存在一个子巡回中不含城市1.把该子巡回记为i1i2......iki1，则必有

ui1?ui2??n?1 ui2?ui3?n?n?1

......

uik?ui1?n?n?1

把这k个式子相加，有

n?n?1 矛盾！

故假设不正确，结论（1）得证。

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