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二次函数动点问题(九)

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  • 2025/7/5 15:23:03

(1)当点B与点D重合时,求t的值; (2)设△BCD的面积为S,当t为何值时,S=

(3)连接MB,当MB∥OA时,如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部(不包括边),求a的取值范围.

9.(山西)综合与实践:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;

(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.

10.(龙岩)在平面直角坐标系xOy中,一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(﹣1,0).

(1)请直接写出点B、C的坐标:B 、C ;并求经过A、B、C三点的抛物线解析式; (2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C.此时,EF所在直线与(1)中的抛物线交于点M. ①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC;

②在①的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

11.(兰州)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上. (1)求抛物线对应的函数关系式;

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;

(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标; (4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.

12.(荆门)如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3). (1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标; (2)求证:CB是△ABE外接圆的切线;

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0<t≤3)时,△AOE与△ABE重叠部分的面积为s,求s与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.

13.(嘉兴)在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ,交y轴于点M.作PA丄x轴于点A,QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m. (1)如图1,当m=

时,

①求线段OP的长和tan∠POM的值;

②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标; (2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E. ①用含m的代数式表示点Q的坐标; ②求证:四边形ODME是矩形.

14.(济宁)如图,抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A(4,0)、B(﹣2,0)两点,与y轴交于点C,点P是线段AB上一动点(端点除外),过点P作PD∥AC,交BC于点D,连接CP. (1)求该抛物线的解析式;

(2)当动点P运动到何处时,BP2=BD?BC; (3)当△PCD的面积最大时,求点P的坐标.

15.(怀化)如图,抛物线m:y=﹣(x+h)2+k与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,顶点为M(3,将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为D; (1)求抛物线n的解析式;

),

(2)设抛物线n与x轴的另一个交点为E,点P是线段ED上一个动点(P不与E、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为F,连接EF.如果P点的坐标为(x,y),△PEF的面积为S,求S与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;

(3)设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G,以G为圆心,A、B两点间的距离为直径作⊙G,试判断直线CM与⊙G的位置关系,并说明理由.

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(1)当点B与点D重合时,求t的值; (2)设△BCD的面积为S,当t为何值时,S=? (3)连接MB,当MB∥OA时,如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部(不包括边),求a的取值范围. 9.(山西)综合与实践:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标; (2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. (3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,

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