一类函数最值问题的解法探究

一类函数最值问题的解法探究

浙江省衢州市教育局教研室(324000)胡兴余 p形如f?x??x?是一种特殊形式的函数，研究该函数的单调性，在解题中有十分重

x要的作用。

一、问题

4 (??k?)的最小值 sin2?4422原解:y?sin?≥2=2×2=4 ?ymin?4 sin??22sin?sin?例：求 y?sin??2二、探究

这是学生在练习中常见的一种解法，这个结论正确吗？我们知道，在应用算术平均数与几何平均数定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，即“一正——各项都是正数；二定——积或和是定值；三等——等号能否取得”。求最值时，若忽略了某个条件，就会导致解题的失败。

在本题中，当sin??24，即 sin???2时，不等式取“=”号，但2sin?|sin?|?1|，显然|sin?|?2>1，故不能使用定理 ,怎么办呢？我们不妨换一个角度思

2考问题，利用函数单调性来解决，设t?sin?，其中??k?，则0<≤1,而y?t?4t44定义域是?0,1?，故y?t?在t=1时取最小tt422值，此时sin??1，? y?sin??的最小值为5

sin2?在?0,2?内递减（可证明），又y?t?1型的式子，即两数之积为常数，但由于定义域x11的限制，不能使等号成立。如y?x?（x≥5）的最小值，尽管x?≥2，但当

xx1x?，即x=1时取“=”号，却不在其定义域?5,??内，因此不能使用定理。此时，我们

x由此可见，有些题目尽管形式是x?可利用函数的单调性求解。

三、性质 函数f?x??x?p（p≠0）有如下性质： x1、当P＜0时，f?x??x? 2、当P＞0时f?x??x?p在(－?, 0)和(0, ?)上为增函数 xp在(0，xp】和【－p，0)上为减函数，在??p,??和

????,?p??上为增函数。（证明留给读者）

四、应用

有些数学问题，可通过换元将原问题转化成f?x??x?p型的函数最值问题，求解这x类问题通常有两种思考方法，一是运用基本不等式求解，但要注意等号成立的条件；二是当等号不能成立时，则可利用函数的单调性求解。

sin2x2?2的最大值。 例1：求函数f?x??2sinx1sin2x?1??1?解析：设t?，则f?t??t? ， t??0,? ，由性质1知，f?t?在?0,?上为

t2?2??2?增函数，?fmax?t??f?3?1?1 ??2???2?2?2例2、若不等式x2－5x－6＜a（x－4）对于x∈[－1，1]恒成立，求a的取值范围。

x2?5x?6解析：由x∈[－1，1]知,x－4＜0,则原问题等价于对x∈[－1，1]时，a<恒成

x?4立。设t=4－x，则t∈[3 , 5]时，a＜3－?t???1010?ft?t?恒成立，令，由性质1得，??tt??1f?t?在x∈[3，5]上单调递增，?0?3?f?t??3 故只要a＜0时,原不等式对于∈[－

31，1]恒成立。

例3 k在什么范围时，对于θ∈[0，?]总有不等式

2cosθ＋2ksinθ-2k-2＜0成立？（1993年哈尔滨市高中数学竞赛题）

解析：当θ=

2

? 时，对任意实数k原不等式恒成立 2当θ∈[0，?2(1?sin?)?2， 设1-Sinθ=t，]时，原不等式等价于2(1-k)＜

21?sin?则t∈(0，1)，原不等式等价于2(1-k)＜t+

2 令f(t)=t+2，由性质2知，f(t)在(0，1)

tt上单调递减，fmin(t)=f(1)=1+

2=3，?2(1-k) ＜3 恒成立。?k＞-1 ?k的取值范围是

21(-

1 ，+≦) 24a17?2≥ aa?44174441≥ ，≧ a＞0，? a? ≥2a?=4 ，当?4aaaa?4a例4：已知a＞0，求证:a?简证：原不等式可转化为a?且仅当a=2时取等号，设t?a?411,则f?t??t?（t≥4），由性质2知，f?t??t?在att17上为增函数，而的定义域，故≥=1,??ft4,??ftf4???????4，即???4a17a??2≥

aa?44例5：求实数a的取值范围，使对任意实数x和任意???0,???都有?2???x?3?2si?n122c?o?s+?x?asin??acos??≥（1996年全国高中数学竞赛题）。

82解析：令t?sin??cos?，则t??1,2?，且2sin?cos??t?1

??212原式左边=x?t?2??x?at?≥??x?t?2???x?at??

?2??2?221221=?t?at?2?≥ 28恒成立，即等价于t?at?2≥

?2?2153。解得，a≥t?或a≤t? 42t2t5?55?(1)若 a≥t?,由性质2知，f?t?=t?在?0,?上为减函数，而f?t?的定义域为

22t2t????1,2?，故fmax?t??f?1??7， ? a≥7

??22(2) 若a≤t?333，则由基本不等式得，t?≥2t??6，当且仅当2t2t2tt?3???1,2?时取等号，故a?6 2?综上所得，a的取值范围为??,6?∪?,???

???7?2??

例6：甲乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米∕小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v（千米∕小时）的平方成正比,比例系数为b; 固定部分为a元,为使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶？ 解析：设全程运输成本为y元,则y?a?ss?a??bv2??s??bv?, (0

aa?a?时,上式中等号?bv?≥2sab,当且仅当?bv即v?vb?v?①若aa≤c,则当v?时, 全程运输成本y最小

bb②若a???a?a?a?0,>c时,则y=s??bv?=sb?v?,由性质2知y在???上为单调递减,?bv?b?b??v??a??sbv?而y=??的定义域为?0,c?,?v=c时, 全程运输成本y最小

bv??综上所知,为使全程运输成本y最小,当aa≤c时，行驶速度v?；

bb当a>c时, 行驶速度v=c b评注：例5,例6两题都有两种情况,其中一部分使用基本不等式,另一部分

利用函数的单调性,从而求出最大值.解题时要注意何时运用基本不等式，何时运用函数单调性，根据题意,合理选择,灵活运用这两种不同的方法。

作者简介 胡兴余,男，中学高级教师。系浙江省特级教师,省首批中学名师培养人员,市拔

尖人才、市首批中学名师。