铰接式机器人底盘研究与分析

图3-1-1.带拖箱的移动铰接式机器人坐标系 根据图3-1-1可得如

下运动学方程：

3.2 欠驱动、非完整动力学系统分析

3.2.1 简化的Routh方程

处理欠驱动、非完整动力学系统的方程主要有Routh方程、Appell方程、Maggi方程和Kane方程，最常用的是Kane方程和Routh方程。 Kane方程需要计算与广义坐标对应的偏速度、偏角速度、广义主动力和广义惯性力，虽然无偏微分和微分计算，却需要大量标积和矢积运算。 Routh方程是带乘子的Lagrange方程，在处理带有k个非完整约束的n个广义坐标的系统时，需要计算与非完整约束对应的k个Lagrange乘子，同时处理n+k个方程，增加了

13

处理难度，但同过对Routh方程的进一步推导，可以消去其中的k个独立坐标变量，把通常的Routh方程简化成n-k个彼此独立的坐标方程，称之为简化的Routh方程。其推导过程如下。

假设系统受到k个如下的运动约束：

把式（1）写成矩阵形式：

把（2）带入下面的Lagrange方程

并由虚功原理可得：

由于约束力不做工，即：

将A（q，t）化成如下形式：

式中：是可逆的，这一点可通过调整位形变量的次序得意保证，并把调整后的位行记为

14

同时，把广义力也化成如下形式：

根据式（6）~（8）得：

将式（10）带入（5）,整理得：

用消去式（11）中的用k个约束方程求解q2，则动力学方程就可以简化成由q1表示的n-k个彼此独立的坐标方程。

3.2.2 动力学建模

在分析之前首先作如下假定：

车头的2个轮子做无滑动的纯滚动；车头和和车位通过无摩擦的铰链链接； 车以固定的转向角φ做匀速转弯运动。

利用简化的Routh方程求解车的动力学方程。

如果把机器人的质量离散成车头和车尾两部分，则机器人动力学状态机动能为

式中：m0为车头质量；m1为车尾质量；I0 为车头饶其质心的转动惯量；I1为车

尾绕其质心的转动惯量。

为了保证车头部分4个滚轮轴向无滑动，引入如下的非完整约束：

（14）

由铰链这个非驱动关节引入的非完整约束为

15

调整并定义系统的位行：

此时，系统的广义坐标数n=4，非完整约束数k=3，所以机器人动力学状态具有f=n-k=1个自由度。

根据简化的Routh方程式（11）,可以计算得

其中：为与θ0相对应的广义力（车轴驱动力矩与阻力矩之差）。由于θ1是非驱动

关节，所以与之相对应的广义力为0.

将上述参数带入式（11），即可得到机器人的运动力学方程：

式中：

16