高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)学案(含解析

C．y＝－2x－3 答案 A 解析 ∵y′＝

D．y＝－2x＋2

x′x＋2－xx＋2′2

＝2

x＋2x＋2

2

－1＋2

2

2

，

∴k＝y′|x＝－1＝＝2，

∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.

1

4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.

2答案 ln 2－1

解析 设切点为(x0，y0)， 111

∵ y′＝，∴＝，

x2x0

1

∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1.

2

求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

一、基础达标

1．设y＝－2esin x，则y′等于( ) A．－2ecos x C．2esin x

xxxB．－2esin x D．－2e(sin x＋cos

xxx)

答案 D

解析 y′＝－2(esin x＋ecos x)＝－2e(sin x＋cos x)．

xxxx2＋a22．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝( )

xA．a C．－a 答案 B

B．±a D．a

2

5

?x＋a?′＝2x·x－x＋a解析 y′＝??x2?x?

由x0－a＝0得x0＝±a. 3．设曲线y＝A．2 1C．－

2答案 D 解析 ∵y＝∴y′＝－2

2

2222

x2－a2

＝2，

xx＋1

在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( ) x－1

1B． 2D．－2

x＋12

＝1＋， x－1x－1

2x－1

2

1

.∴y′|x＝3＝－.

2

∴－a＝2，即a＝－2.

4．已知曲线y＝x在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( ) A．(－2，－8) C．(2,8) 答案 B

解析 y′＝3x，∵k＝3，∴3x＝3，∴x＝±1， 则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．

5．设函数f(x)＝g(x)＋x，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线

2

2

2

3

B．(－1，－1)或(1,1) 1??1

D．?－，－?

8??2

y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．

答案 4

解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，

f′(1)＝g′(1)＋2＝4.

13

6．已知f(x)＝x＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.

3答案 1

解析 由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x＋3f′(0)， 令x＝0，则f′(0)＝0， ∴f′(1)＝1＋3f′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋3)(3x－1)； (2)y＝x－sin cos . 22

6

2

2

2

xx解 (1)法一 y′＝(2x＋3)′(3x－1)＋(2x＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x＋3)＝18x－4x＋9.

法二 ∵y＝(2x＋3)(3x－1)＝6x－2x＋9x－3， ∴y′＝(6x－2x＋9x－3)′＝18x－4x＋9.

3

2

2

2

3

2

2

222

xx1

(2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，

222

1?1?∴y′＝x′－?sin x?′＝1－cos x.

2?2?二、能力提升

sin x1?π?8．曲线y＝－在点M?，0?处的切线的斜率为( )

sin x＋cos x2?4?1

A．－

2C．－

2 2

1B． 2D．

2 2

答案 B 解析 y′＝

cos xsin x＋cos x－sin xcos x－sin x2

sin x＋cos x1＝， 2

＝

1

sin x＋cos x2

，故

y′|

x＝

π4

1?π?∴曲线在点M?，0?处的切线的斜率为. 2?4?

4

9．已知点P在曲线y＝x上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是

e＋1( ) π

A．[0，)

4π3πC．(，]

24答案 D

4e解析 y′＝－xe＋1

xππB．[，)

423π

D．[，π)

4

4e4tx，设t＝e∈(0，＋∞)，则y′＝－2＝－2＝－2xxe＋2e＋1t＋2t＋1

x413π

，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)． 1t4t＋＋2

t10．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e)＝x＋e，则f′(1)＝________. 答案 2

解析 令t＝e，则x＝ln t，所以函数为f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)

7

xxx11

＝＋1，即f′(1)＝＋1＝2. x1

11．求过点(2,0)且与曲线y＝x相切的直线方程．

解 点(2,0)不在曲线y＝x上，可令切点坐标为(x0，x0)．由题意，所求直线方程的斜率k3

3

3

x3x30－0022＝＝y′|x＝x0＝3x0，即＝3x0，解得x0＝0或x0＝3. x0－2x0－2

当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0； 当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27， 则所求直线方程是y－27＝27(x－3)， 即27x－y－54＝0.

综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.

12．已知曲线f(x)＝x－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x0，y0)，

则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x0－3， ∴切线方程为y＝(3x0－3)x＋16， 又切点(x0，y0)在切线上， ∴y0＝3(x0－1)x0＋16， 即x0－3x0＝3(x0－1)x0＋16， 解得x0＝－2，

∴切线方程为9x－y＋16＝0. 三、探究与创新

13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

7

(1)解 由7x－4y－12＝0得y＝x－3.

411

当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，

22又f′(x)＝a＋2， 7

∴f′(2)＝，

4

② ①

3

2

2

2

2

3

bxbx 8