高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)学案含解析

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

[学习目标]

1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．

2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接]

前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则

法则 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方 x[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) ?fx?′＝f′xgx－fx·g′x?gx?2[gx]??(g(x)≠0) 2．复合函数的求导法则 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)) 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积

复合函数的求导法则 要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y＝x－2x＋3；

3

1

(2)y＝(x＋1)(x－1)； (3)y＝3－lg x.

解 (1)y′＝(x)′－(2x)′＋3′＝3x－2. (2)∵y＝(x＋1)(x－1)＝x－x＋x－1， ∴y′＝(x)′－(x)′＋x′－1′＝3x－2x＋1.

(3)函数y＝3－lg x是函数f(x)＝3与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3ln 3，g′(x)＝

xxxx3

2

2

2

3

2

3

2

2

x1

，利用函数差的求导法则可得 xln 10

x(3－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3ln 3－

1

. xln 10

规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．

跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y＝5－4x；(2)y＝3x＋xcos x； 1x(3)y＝e·ln x；(4)y＝lg x－2. 3

2

x解 (1)y′＝－12x；

(2)y′＝(3x＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； ex(3)y′＝＋e·ln x；

x2

2

x(4)y′＝12

＋3. xln 10x要点二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y＝ln(x＋2)； (2)y＝(1＋sin x)； 解 (1)y＝ln u，u＝x＋2

11

∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝·1＝. ux＋2(2)y＝u，u＝1＋sin x，

∴yx′＝yu′·ux′＝(u)′·(1＋sin x)′ ＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．

规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．

(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．

2

2

2

2

(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．

(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 跟踪演练2 (1)y＝e(2)y＝(x－2).

解 (1)y＝e，u＝2x＋1，

∴y′x＝y′u·u′x＝(e)′·(2x＋1)′＝2e＝2e(2)法一 ∵y＝(x－2)＝x－4x＋4， ∴y′＝x′－(4x)′＋4′ 112

＝1－4×x－＝1－. 22x法二 令u＝x－2，

则yx′＝yu′·ux′＝2(x－2)·(x－2)′＝ 2?1·1－0?

2(x－2)?2?＝1－.

x??x要点三 导数的应用

例3 求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x－2x相切的直线方程． 解 设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为

3

2

2

2x＋1

；

uuu2x＋1

.

k＝f′(x0)＝3x20－2

故切线方程为y－y0＝(3x0－2)(x－x0) ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x0－2x0 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x0－2x0)＝(3x0－2)(1－x0)． 1

解得x0＝1或x0＝－.

2

5

故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．

4即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．

3

2

3

2

① ②

t－12

2＋2t(位移单位：m，时间单位：t 3

解 ∵s(t)＝

t－1t111222

＋2t＝－＋2t＝－2＋2t， 222ttttttt11

∴s′(t)＝－2＋2·3＋4t， 12323

∴s′(3)＝－＋＋12＝，

92727

323

即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.

27

1．下列结论不正确的是( )

A．若y＝3，则y′＝0

B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 C．若y＝－x＋x，则y′＝－

12x＋1

D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 答案 D

解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x. cos x2．函数y＝的导数是( )

1－x－sin x＋xsin xA. 2

1－xB．

xsin x－sin x－cos x 2

1－xcos x－sin x＋xsin xC． 2

1－xcos x－sin x＋xsin xD．

1－x答案 C 解析 y′＝?

?cos x?′＝－sin x??1－x?

1－x－cos x·－1

2

1－xcos x－sin x＋xsin x＝. 2

1－x3．曲线y＝

xx＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( )

B．y＝2x－1

4

A．y＝2x＋1