2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义：第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 - 图文

所以

32

b＝a，① 22

又因为a＋b＝12，② 由①②可知a＝12(3－6)． 答案：12(3－6)

6．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝_______. ABBC解析：由正弦定理，得＝，即

sin Csin AAB·sin A

sin C＝BC ＝

5sin 120°53

＝. 714

11

. 14

可知C为锐角，∴cos C＝1－sin2C＝

∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C) ＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝答案：

33

14

33

. 14

ac

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且＝. sin A3cos C(1)求角C的大小；

(2)如果CA·CB＝4，求△ABC的面积．

?

解：(1)由?a

?sin A＝

ac＝，sin Asin C

c

，3cos C

得sin C＝3cos C，

π

故tan C＝3，又C∈(0，π)，所以 C＝. 3

1

(2)由CA·CB＝|CA||CB|cos C＝2ba＝4得ab＝8， 113

所以S△ABC＝absin C＝×8×＝23.

222

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋3bsin C－a－c＝0.

(1)求B；

(2)若b＝3，求a＋c的取值范围．

解：(1)由正弦定理知：sin Bcos C＋3sin Bsin C－sin A－sin C＝0， ∵sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C代入上式得： 3sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0. ∵sin C>0，∴3sin B－cos B－1＝0， π1B－?＝， 即sin ??6?2π

∵B∈(0，π)，∴B＝.

3(2)由(1)得：2R＝

b

＝2，a＋c＝2R(sin A＋sin C) sin B

πC＋?. ＝23sin??6?2ππ

0，?，∴23sin?C＋?∈(3，23]， ∵C∈?3???6?∴a＋c的取值范围为(3，23]．

1．1.2 余弦定理

预习课本P5～6，思考并完成以下问题 (1)余弦定理的内容是什么？ (2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？ (3)已知三角形的三边如何解三角形？ [新知初探] 余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos A， 余弦定理 公式表达 b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍

b2＋c2－a2cos A＝ 2bc推论 a2＋c2－b2c os B＝， 2aca2＋b2－c2cos C＝ 2ab [点睛] 余弦定理的特点

(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．

(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形( ) (2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形( ) (3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一( )

解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形． b2＋c2－a2

(2)正确．当a>b＋c时，cos A＝<0.

2bc

2

2

2

因为0

(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．

答案：(1)√ (2)√ (3)×

2．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于( ) A.39 C．102

解析：选D 由余弦定理得：

c＝92＋?23?2－2×9×23×cos 150° ＝147 ＝73.

3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( ) A．60° C．120°

B．45° D．30° B．83 D．73

b2＋c2－a21解析：选C 由cos A＝＝－，∴A＝120°.

2bc2

4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( ) 1A. 4C.2 4

2

3 B. 4 D.

2 3

a2＋c2－b2

解析：选B 由b＝ac且c＝2a得cos B＝

2aca2＋4a2－2a23＝＝.故选 B.

2a·2a4

已知两边与一角解三角形 π[典例] (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝603 cm，A＝，则a＝________cm；

6(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝[解析](1)由余弦定理得： a＝

π602＋?603?2－2×60×603×cos

6

9

，则BC＝________. 10

＝4×602－3×602＝60(cm)．

9

(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC2－2×5×BC×，

10所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5. [答案] (1)60 (2)4或5 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解． 若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好． [活学活用]

在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形． 解：根据余弦定理得，

b2＝a2＋c2－2accos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，