2018年南京市鼓楼区中考数学二模试卷含答案解析

（2）设点P的坐标为（m，n）． 当m≥n时，P′的坐标为（m，m﹣n）． 若P与P′重合，则n=m﹣n， 又mn=2． 所以n=±1．

即P的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）． 又（﹣2，﹣1）不符合题意，舍去， 所以P的坐标为（2，1）．

当m＜n时，P′的坐标为（m，n﹣m）．可得m=0，舍去． 综上所述，点P的坐标为（2，1）．

（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b）． 因为Q′是函数y=2x2的图象上一点， 所以a﹣b=2a2． 即b=a﹣2a 2．

QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|， 其函数图象如图所示：

．

由图象可知，当a=2时，QQ′的最大值为14． 当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a）． QQ′=|b﹣b+a|=|a|．

当a=2时，QQ′的最大值为2． 综上所述，Q Q′的最大值为14或2．

27．（10分）问题提出

旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果． 初步思考

（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．

小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：

如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP． （请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）

推广运用

（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=

，PB=5．求PC的长．

【解答】解：（1）如图2中，

∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB． ∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAD=60°，∠ADB=∠APC=150°． ∵AD=AP，∠PAD=60°， ∴△ADP为等边三角形． ∴PD=PA=3，∠ADP=60°． 又∠ADB=150°， ∴∠PDB=90°．

在Rt△PDB中，PD=3，DB=4，

∴BP=

==5，

（2）如图，作∠CAD=∠BAP，使AD=AP．连接CD、PD．

∵AB=2AC，AD=AP， ∴

=

=．

又∠CAD=∠BAP， ∴△ABP∽△ACD． ∴CD=BP=2.5． 在△PAD中，PA=

，∠PAD=60°，AD=

，

易证∠APD=30°，∠PDA=90°（取PA中点K，连接DK，利用等边三角形的性质即可证明） ∴PD=，

∴∠DPC=120°﹣30°=90° 在Rt△DPC中，PC=

==2．