13第一章随机事件及其概率第3节古典概型与几何概型 补充材料 - 图文

2006～2007学年第一学期 第2周（1） 概率论与数理统计教案

? 类比套用

--- 有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三个邮箱，等可能地投入甲、乙两封信（每封信只限一个邮箱），则恰有一个邮箱无信的概率为

2 3

【补例1-3-4】设有n个球，每个球都等可能地落入N个格子(n?N)的每一个格子中，求：

（1）某指定的n个格子中各有一球的概率； （2）任意n个格子中各有一球的概率； （3）某指定的一个格子没有球的概率； （4）某指定的一个格子有球的概率.

【提示】该试验是什么？— 为分析问题的前提

【解】 设事件

={ n个球，每个球都等可能地落入N?1个格子（n?N）的每一个格子中 }

C={ 某指定的一个格子没有球 }

D={ 某指定的一个格子有球 }

A={ 某指定的n个格子中各有一球 } B={ 任意n个格子中各有一球 }

于是，所求事件的概率为：

古典定义?(A)事件A包括的基本事件（样本点）数??（1）P(A)

?(S)该试验中包括的基本事件（样本点）总数第 25 页（ 共 55 页）

2006～2007学年第一学期 第2周（1） 概率论与数理统计教案

某指定的n个格子中各有一球?????????????????????????????????第1步第2步第n?1步第n步????????????????????????????????????1放入第1个格子1放入第2个格子放入第n?1个格子1放入第n个格子Cn?1球?C1C1球“算”Cn球2球?放入第1个球1放入第2个球1放入第n?1个球1放入第n个球C1C?CCN格子N格子N格子N格子??????????????????????????????第1步第2步第n?1步第n步???????????????????????????????n个球等可能地落入N个格子 ?n!Nn 古典定义?(B)事件B包括的基本事件（样本点）数??（2）P(B)

?(S)该试验中包括的基本事件（样本点）总数“算”?任意n个格子中各有一球???????????????????????????????????????????第2步：在指定n个格子中各放入一个球第1步:从N个格子中?????????????????????????????????任意指定n个格子第1步第2步第n?1步第n步?????????????????????????????????????????格子1放入第1个格子1放入第2个格子1放入第n?1个格子1放入第n个格子CnCC?CC1球N格子n球n?1球2球Nn?????同（1） ?nCnn!PNNNn古典定义?(C)事件C包括的基本事件（样本点）数??（3）P(C)

?(S)该试验中包括的基本事件（样本点）总数某指定的一个格子无球，即除没有球的一个格子外，将球放入另外N?1个格子中Nn?kk Pn?Cnk!?n?(n?1)???(n?k?1)?n! (n?k)!???????????????????????????????第1步第2步第n?1步第n步??????????????????????????????1放入第1个球1放入第2个球放入第n?1个球1放入第n个球CN?1格子?C1CN?1格子“算”CN?1格子N?1格子?

nN?????同（1）N事件的关系与运算古典定义(N?1)n?P(C)?1?P(C)?（4）P(D) 1?nN(3)

?(N?1)nn “间接计算法” 第 26 页（ 共 55 页）

2006～2007学年第一学期 第2周（1） 概率论与数理统计教案

※ 另解

利用

“完成某事件的方法数”

= “该试验的方法总数”-“该事件的对立事件的方法数”

古典定义?(D)事件D包括的基本事件（样本点）数?? P(D)?(S)该试验中包括的基本事件（样本点）总数由(3)Nn?(N?1)n ?nN? 类比套用 ① n-- 人 ，N-- 房间（分房问题） ② n-- 信 ，N-- 信箱（投信问题） ③ n-- 人 ，N-- 365天（生日问题）

④ n-- 粒子 ，N-- 相空间中的小区域（Maxwell?Boltiman质点运动）

⑤ n-- 0，1～9 数字 ，N-- 电话号码位数（电话号码问题） ? ?

【补例1-3-5】袋中有a只黑球和b只白球，求：

（1）有放回地连抽n个球（计次序），恰好抽到k个黑球的概率（k?0,1,2,?,n） （2）无放回地连抽n个球（不计次序），恰好抽到k个黑球的概率

(max{0,n?b}?k?min{a,n})

【解】 设事件

A1?{ 有放回地连抽n个球（计次序），恰好抽到k个黑球 } A2?{ 无放回地连抽n个球（不计次序），恰好抽到k个黑球 }

于是，所求事件的概率为：

古典定义?(A1)事件A1包括的基本事件（样本点）数??（1）P(A1)

?(S)该试验中包括的基本事件（样本点）总数“算”?恰好抽到k个黑球（另外n?k次抽到白球）（有放回抽取）???????????????????????????????????第1步:在n次抽取中任意指定k次第2步：在指定k次抽取中有放回地各抽一个黑球第3步：在另外n?k次抽取中有放回地各抽一个白球?????kCn抽取??????????????????????????第1步第2步第k步第1步第2步n?k步?????????????????????????第?????11111C1C?CCC?Ca黑球a黑球a黑球b白球b白球b白球111CaC?C?b球a?b球a?b球有放回地各抽一个球???????????????第1步第2步第n步??????????????? ?kn?kCknab(a?b)n?Ckn(ab)k()n?k （k?0,1,2,?,n） a?ba?b二项分布概率公式 ※【另解】见§1.5 第 27 页（ 共 55 页）

2006～2007学年第一学期 第2周（1） 概率论与数理统计教案

在n重伯努利试验（有放回地连抽n个球，计次序）中，每次试验（某次抽取一个球）中事件

A（抽到黑球）发生的概率为P(A)?p?a（0?p?1），a?bP(A)?q?1?p?率为 b，则事件“事件A恰好发生k次（恰好抽到k个黑球）”的概a?bab)k()n?k (k?1,2,?,n) a?ba?bkkn?k?Ckb(k;n,p)?Cnpqn( 二项分布概率公式（伯努利概型） 古典定义?(A2)事件A2包括的基本事件（样本点）数??（2）P(A2) ?(S)该试验中包括的基本事件（样本点）总数恰好抽到k个黑球（另外n?k次抽到白球）（无放回抽取）?????????????????????????????????kCa黑球n?kCb白球第1步:在a个黑球中无放回地抽出k个第2步:在b个白球中无放回地抽出n?k个“算”????????无放回地各抽一个球（一次抽n个）nCa?b球?n?kkCaCbnCa?b (max{0,n?b}?k?min{a,n}) 超几何分布概率公式

? 类比套用：

a-- 正品 ，b-- 次品 （1）A1?{ 有放回地连抽n件产品（计次序），恰好抽到k件正品 } -- 当k?a，n?k?b时，有

n?kkCaCbabk?Ck()()n?k nna?ba?bCa?b即

（2）A2?{ 无放回地连抽n件产品（不计次序），恰好抽到k件次品 }

P(A1)?P(A2)

故在实际工作中，当抽样数较小时，常用有放回抽样代替无放回抽样进行计算.

【补例1-3-6】某公共汽车站每隔10min(分钟)有一辆汽车到达，一位乘客到达车站的时间（时刻）是任意的，求.

（1）他到站后等候的时间不超过3min(分钟)的概率； （2）他到站后等候的时间超过3min(分钟)的概率； （3）他到站后等候的时间恰好为3min(分钟)的概率； （4）他到站后不用等车的概率.

【解】 （1）设事件

先用集合表示该试验的样本空间S及事件A，得

A={ 他等候的时间不超过3min(分钟) }

S?{tt0?t?t0?10}?(t0,t0?10]

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