当前位置：首页 > 2012年全国初中数学竞赛试题及答案
所以 CE?BD?（EM?CM）?（DM?BM）?BM?CM?645?365?285.
8（甲）．?23
解：根据题意，关于x的方程有
??k2?4??39??4k2?3k?2??≥0，
由此得 ?k?3?2≤0．
又?k?3?2≥0，所以?k?3?2?0，从而k?3. 此时方程为x2?3x?934?0，解得x1?x2??2. x2011故112x2012???． 2x23
8（乙）．1610
解：因为(n2?n?3)(n2?n?3)=n4?5n2?9=(n?1)(n?1)(n2?1)?5n2?10.
当n被5除余数是1或4时，n?1或n?1能被5整除，则(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除； 当n被5除余数是2或3时，n2?1能被5整除，则(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除； 当n被5除余数是0时， (n2?n?3)(n2?n?3)不能被5整除.
所以符合题设要求的所有n的个数为201010?8?2?1610．
9（甲）．8
解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知
2a?3b?130，
由此得0≤b≤43.
又a?b?(m?1)(m?2)2，所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是
0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43，
87≤(m?1)(m?2)≤130，
由此得m?8，或m?9.
当m?8时，b?40，a?5；当m?9时，b?20，a?35，a?a?b552?2，不合题设.
故m?8．
9（乙）．3?52?ac≤1
解：由题设得
??a?b?c，??111 ?c?b?a，所以 11111c?c?a?c?b?a，
即 111c?c?a?a.
整理得
9
?a??a? ???3???1?0，
?c??c?2由二次函数y?x2?3x?1的图象及其性质，得3?5aa又因为≤1，所以?≤1.
2cc3?5a3?5. ??2c2
32 2解：如图，连接AC，BD，OD.
由AB是O的直径知?BCA??BDA?90°. 依题设?BFC?90°，四边形ABCD是O 的内接四边形，所以
?BCF??BAD，
BCBA所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此 . ?CFAD因为OD是O的半径，AD?CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， DEOE于是??2. 因此
DCOBDE?2CD?2AD，CE?3AD.
BA3由△AED∽△CEB，知DE?EC?AE?BE．因为AE?，BE?BA，
22BA3所以 2AD?3AD??BA，BA?22AD，故
22BC32AD. ?CF??BC?2BA22
10（乙）. 12
解：由已知有?a?b??a?b??n，且n为偶数，所以a?b，a?b同为偶数，于是n是4的倍数．设
10（甲）．n?4m，则1≤m≤25．
（Ⅰ）若m?1，可得b?0，与b是正整数矛盾．
a?ba?b??m；若m恰22a?ba?b是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足（a,b）??m．
22（Ⅲ）若m是素数，或m恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足（a,b）a?ba?b??m． 22因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，（a,b）共有12个．
三、解答题
11（甲）．解：因为当?1?x?3时，恒有y?0，所以
（Ⅱ）若m至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足（a,b）2??（m?3）?（4m?2）?0，
2即（m?1）?0，所以m??1．
…………（5分）
当x??1时，y≤0；当x?3时，y≤0，即
10
(?1)2?(m?3)(?1)?m?2≤0，
且 32?3(m?3)?m?2≤0，
解得m≤?5．
…………（10分）
设方程x2??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得
x1?x2???m?3?，x1x2?m?2．
119???，所以 x1x210x1?x2m?39????， x1x2m?210解得m??12，或m??2．
因此m??12．
因为
…………（20分）
11（乙）．解：因为sin?ABC?AO4?，AO?8，所以 AB5AB?10
由勾股定理，得BO?AB2?AO2?6.
易知△ABO≌△ACO，因此CO?BO?6. 于是A?0，?8?，B?6，0?，C??6，0?.
设点D的坐标为?m，n?，由S△CS△CDBOE?S△AD，得
. 所以
11 BC?|n|=AO?BO，
2211?12(?n)??8?6， 22解得n??4.
因此D为AB的中点，点D的坐标为?3，?4?.
?S△ AO…………（10分）
8??因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为?0，??.
3??设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y?a?x?6??x?6?. 将点E的坐标代入，解得a?2. 27故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为
228y?x?.
273…………（20分）
12（甲）．证明：连接BD，因为OB为O1的直径，所以?ODB?90?．又因为DC?DE，所以△CBE是等腰三角形．
…………（5分）
设BC与O1交于点M，连接OM，则?OMB?90?．又因为OC?OB，所以
?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F．
11
…………（15分）
又因为?BOC，?DO1F分别是等腰△BOC，等腰△DO1F的顶角，所以
△BOC∽△DO1F．
…………（20分）
12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知
?BAD?BDA ?CID? ???CDI，22所以 CI?CD．
同理， CI?CB. 故点C是△IBD的外心.
连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA?OC， 所以OI?AC，即OI?CI.
故OI是△IBD外接圆的切线.
…………（10分）
（2）如图，过点I作IE?AD于点E，设OC与BD交于点F. 由BC?CD，知OC?BD.
因为?CBF??IAE，BC?CI?AI，所以
Rt△BCF≌Rt△AIE，
所以BF?AE.
又因为I是△ABD的内心，所以
AB?AD?BD?2AE?BD.
故AB?AD?2BD．
…………（20分）
13（甲）．解：设a?b?m（m是素数），ab?n2（n是正整数）.
22因为 ?a?b??4ab??a?b?， 所以 ?2a?m??4n2?m2，
2?2a?m?2n??2a?m?2n??m2
…………（5分）
因为2a?m?2n与2a?m?2n都是正整数，且2a?m?2n?2a?m?2n(m为素数)，所以 2a?m?2n?m2，2a?m?2n?1.
(m?1)2m2?1解得 a?，n?.
442（m?1）于是 b?a?m?.
4…………（10分）
2(m?1)又a≥2012，即≥2012.
4(89?1)2又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥?2025.
4当a?2025时，m?89，b?1936，n?1980. 因此，a的最小值为2025.
…………（20分）
12
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