2012年全国初中数学竞赛试题及答案

13（甲）．已知整数a，b满足：a?b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.

13（乙）．凸n边形中最多有多少个内角等于150?？并说明理由．

14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数x1，x2，　，x2012，满足x1?x2??x2012，且122012????n. x1x2x2012

14（乙）．将2，　3，　，n?n≥2?任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同）使得ab?c，求n的最小值．

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中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题 1（甲）．C

解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知

b?a?0?c，且b?c，

所以 a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a．

1（乙）．B

1111?1??1?解：1??1??1?2?1?2． 112?2?12?12?2?3?a1?2

2（甲）．D

2解：由题设知，?2?a?(?3)，(?3)?(?2)?b，所以a?，b?6.

32?y?x，??x??3，?x?3，?3解方程组?得? ?

y?2.6y??2；??y?，??x?所以另一个交点的坐标为?3，2?.

注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为?3，2?.

2（乙）．B

解：由题设x2?y2≤2x?2y，得0≤(x?1)2?(y?1)2≤2. 因为x，y均为整数，所以有

2222??(x?1)?0，??(x?1)?0，??(x?1)?1，??(x?1)?1， ? ? ? ?2222??(y?1)?0；??(y?1)?1；??(y?1)?0；??(y?1)?1.解得

?x?1，?x?1，?x?1，?x?0，?x?0，?x?0，?x?2，?x?2，?x?2， ? ? ? ? ? ? ? ? ?y?2；y?0；y?1；y?0；y?2；y?1；y?0；y?2.y?1；?????????以上共计9对. （x，y）

3（甲）．D

解：由题设知，1?a?1?a?b?1?2a?b，所以这四个数据的平均数为

1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b， ?44(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 ， ?24 6

于是

4?4a?2b3?4a?2b1??. 4443（乙）．B

解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. 由于AC?BC，CD?CE，

?BCD??BCA??ACD??DCE??ACD??ACE， 所以△BCD≌△ACE，BD?AE.

又因为?ADC?30°，所以?ADE?90°. 在Rt△ADE中，AE?5，AD?3，

于是DE?AE2?AD2?4，所以CD?DE?4.

4（甲）．D

解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得 ?x?2?n(y?2)， ?y?n?2(x?n)，?消去x得 ?2y?7?n?y?4，

2n?因为

(2y?7)?1515. ?1?2y?72y?715为正整数，所以2y?7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从2y?7而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．

4（乙）．C

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为?q?0，故方程的根为一正一负．由二次函

数y?x2?px?q的图象知，当x?3时，y?0，所以32?3p?q?0，即3p?q?9. 由于p，q都是正整数，所以p?1，1≤q≤5；或p?2，1≤q≤2，此时都有??p2?4q?0. 于是共有7组符（p，q）合题意．

5（甲）．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是

989100，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以p0?，p1?，p2?，p3?，因此p336363636最大．

5（乙）．C

解：因为a?b?ab?1?(a?1)(b?1)，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则

?1??1??1?x?1?(1?1)??1???1??1?， ??2??3??100?解得 x?1?101，x?100．

二、填空题

6（甲）．7?x≤19

解：前四次操作的结果分别为

7

3x?2，3?3x?2??2?9x?8，3?9x?8??2?27x?26，3?27x?26??2?81x?80

由已知得 ??27x?26≤487?81x?80?487 解得 7?x≤19.

容易验证，当7?x≤19时，3x?2≤487 9x?8≤487，故x的取值范围是 7?x≤19．

6（乙）．7

解：由已知可得

abc9?b?c9?c?b?c?a9?a?bc?a?a?b?b?c?c?a?a?b ?99b?c?c?a?9a?b?3 ?9?109?3?7．

7（甲）．8

解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN，所以

ADBF?ANNF?DNBN?21， 由此得AN?2NF，所以AN?23AF.

在Rt△ABF中，因为AB?2a，BF?a，所以 AF?AB2?BF2?5a，

于是 cos?BAF?AB25AF?5. 由题设可知△ADE≌△BAF，所以?AED??AFB，

?AME?180°??BAF??AED?180°??BAF??AFB?90.

于是 AM?AE?cos?BAF?255a，

MN?AN?AM?23AF?AM?4515a，

S△MNDMN4S?AF?15.

△AFD又S1a)?2a2，所以S482△AFD?2?(2a)?(2△MND?15S△AFD?15a.

因为a?15，所以S△MND?8.

7（乙）．285

解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OM?DE．因为OB?202?122?16，所以

OM?OB?OCBC?16?1220?485， CM?OC2?OM2?36645，BM?5．

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