2012年全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2012年全国初中数学竞赛试题

题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1～5 二 6～10 三 11 12 13 14 总 分

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答；

2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|可以化简为（ ）．

A．2c?a B．2a?2b C．?a D．a

1（乙）．如果a??2?2，那么1?A．?2

112?3?a的值为（ ）．

B．2 C．2 D．22 2（甲）．如果正比例函数y?ax?a≠0?与反比例函数y?交点的坐标为??3，?2?，那么另一个交点的坐标为（ ）．

b?b≠0?的图象有两个交点，其中一个x3? A．?2，B．?3，?2? C．??2，3? D．?3，2?

2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2?y2≤2x?2y的整数点坐标?x，y?的个数为

（ ）．

A．10 B．9 C．7 D．5

3（甲）．如果a，b为给定的实数，且1?a?b，那么1，a?1， 2a?b，a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）．

2a?111 A．1 B． C． D．

424

1

3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形．?ADC?30°，AD?3，

． BD?5，则CD的长为（ ）

A．32 B．4 C．25 D．4.5

4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

4（乙）．如果关于x的方程 x2?px?q?0（p，q是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）． A．5 B．6 C．7 D．8

5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为p0，p1，p2，p3，则． p0，p1，p2，p3中最大的是（ ）A．p0

B．p1

C．p2

D．p3

1115（乙）．黑板上写有1，　，　 ，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数

23100然后删去a，b，并在黑板上写上数a?b?ab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）． a，b，

A．2012 B．101 C．100 D．99

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否?487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .

6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足a?b?c?9，

11110，那么???a?bb?cc?a9abc的值为 ． ??b?cc?aa?b

2

7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为215，E、F分别是AB、BC的中点，AF与DE、DB分别交于点M、N，则△DMN的面积是 .

7（乙）．如图，⊙O的半径为20，A是⊙O上一点。以OA为对角线作矩形OBAC，且OC?12.延长BC，与⊙O分别交于D，E两点，则CE?BD的值等于 ．

2x120113298（甲）．如果关于x的方程x?kx?k?3k??0的两个实数根分别为x1，x2，那么2012的值

x242为 ．

8（乙）．设n为整数，且1≤n≤2012. 若(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除，则所有n的个数为 .

9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .

9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若（x，y，z）（a，b，c）a?111?和?，，?均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 .

c?abc?

10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD?DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF?EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE?AO，BC?6，则CF的长为 .

10（乙）．已知n是偶数，且1≤n≤100．若有唯一的正整数对使得a2?b2?n成立，则这（a，b）样的n的个数为 ．

3

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

（m?3）x?m?2，当?1?x?3时，恒有y?0；关于x的方程11（甲）．已知二次函数y?x2?9x2?（m?3）x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?．求m的取值范围．

10

411（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO?8，AB?AC，sin?ABC?．

5CD与y轴交于点E，且S△COE?S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.

12（甲）．如图，⊙O的直径为AB，⊙O1过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与⊙O1交于点D，且OD?CD．点E在OD上，且DC?DE，BE的延长线与⊙O1交于点F，求证：△BOC∽△DO1F．

12（乙）．如图，O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：

（1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB?AD?2BD.

4