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2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书:第四章 第4讲 第1课时 三角函数的图象与性质(一)

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  • 2025/7/11 6:07:21

用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解;二是利用导数,转化为导函数在区间M上的保号性,由此列不等式求解.

角度四 利用三角函数的单调性求值域(最值)

π

2x-?在区间 (1)函数f(x)=3sin?6??

?0,π?上的值域为( )

?2?33-,? A.??22?3333?C.?- ?2,2?

3

-,3? B.??2?33?D.?-

?2,3?

(2)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为 . ππ5ππ

0,?时,2x-∈?-,?, 【解析】 (1)当x∈??2?6?66?π1

2x-?∈?-,1?, sin?6??2??π3

2x-?∈?-,3?, 故3sin?6??2??3

-,3?. 即此时函数f(x)的值域是??2?

1-t2

(2)设t=sin x-cos x,则-2≤t≤2,t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,则sin xcos x=,

2t211

所以y=-+t+=-(t-1)2+1.

222

1

当t=1时,ymax=1;当t=-2时,ymin=--2.

21

所以函数y的值域为[--2,1].

2

1

【答案】 (1)B (2)[--2,1]

2

三角函数值域的求法

(1)利用y=sin x和y=cos x的值域直接求.

(2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)的形式求值域.

(3)把sin x或cos x看作一个整体,将原函数转换成二次函数求值域. (4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系将原函数转换成二次函数求值域.

xπ?1.(2020·广东省七校联考)函数f(x)=tan??2-6?的单调递增区间是( ) 2π4π

2kπ-,2kπ+?,k∈Z A.?33??

2π4π

2kπ-,2kπ+?,k∈Z B.?33??

2π4π

4kπ-,4kπ+?,k∈Z C.?33??

2π4π

4kπ-,4kπ+?,k∈Z D.?33??

πxππ2π4π

解析:选B.由-+kπ<-<+kπ,k∈Z,得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,所以函

226233xπ?2π4π

-的单调递增区间是?2kπ-,2kπ+?,k∈Z,故选B. 数f(x)=tan?33??26??

3?0,π??的最大值是 . 2.函数f(x)=sin2x+3cos x-?x∈

4??2??解析:f(x)=sin2x+1],当cos x=

答案:1

ππ

x+?-2在区间?,a?上单调,3.(2020·河北省中原名校联盟联考)若函数f(x)=3sin??10??2?则实数a的最大值是 .

ππ3π2π7π

解析:法一:令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,所

2102552π7π?7π,上单调递减,所以a的最大值为. 以函数f(x)在区间??55?5

πππππ

法二:因为≤x≤a,所以+≤x+≤a+,

22101010π?

而f(x)在??2,a?上单调, π3π7π所以a+≤,即a≤,

10257π

所以a的最大值为.

57π答案: 5

333?2?2

3cos x-=1-cosx+3cos x-=-cos x-+1,cos x∈[0,

442??

3

时,f(x)取得最大值1. 2

思想方法系列6 换元法求三角函数的最值(值域)

(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)=

2x+?-3cos x的最小值为 . sin?2??

【解析】 f(x)=sin(2x+

2

)-3cos x=-cos 2x-3cos x=1-2cos2x-3cos x=-2

317

cos x+?+,因为cos x∈[-1,1],所以当cos x=1时,f(x)取得最小值,f(x)min=-4. 2?4??8

【答案】 -4

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用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解;二是利用导数,转化为导函数在区间M上的保号性,由此列不等式求解. 角度四 利用三角函数的单调性求值域(最值) π2x-?在区间 (1)函数f(x)=3sin?6???0,π?上的值域为( ) ?2?33-,? A.??22?3333?C.?- ?2,2?3-,3? B.??2?33?D.?- ?2,3?(2)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为 . ππ5ππ0,?时,2x-∈?-,?, 【解析】 (1)当x∈??2?6?66?π12x-?∈?-,1?, sin?6??2??π3

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