2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第四章 第4讲 第1课时 三角函数的图象与性质（一）

?sin x，x≥0，

D中，f(x)＝sin|x|＝?由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周

－sin x，x<0，?

期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.

ππ

2x－?的减区间是f(x)＝sin?2x－?的增区间． (2)f(x)＝－sin?3?3???πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

232π5π

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

1212

π5π

kπ－，kπ＋?，k∈Z. 故所给函数的单调递减区间为?1212??π5π

kπ－，kπ＋?，k∈Z 【答案】 (1)A (2)?1212??

π

－2x＋?，求f(x)的单调递增【迁移探究1】 (变条件)若本例(2)f(x)变为：f(x)＝－cos?3??区间．

ππ

－2x＋?＝－cos?2x－?， 解：f(x)＝－cos?3?3???欲求函数f(x)的单调递增区间， π

2x－?的单调递减区间． 只需求y＝cos?3??π

由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，

3π2π

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.

63

π2π

kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． 故函数f(x)的单调递增区间为?63??

π?－π，π?2x－?，【迁移探究2】 (变条件)本例(2)f(x)变为：f(x)＝sin?试讨论f(x)在区间3???44?上的单调性．

πππ

－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z. 解：令z＝2x－，易知函数y＝sin z的单调递增区间是?2?2?3ππππ5π

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

2321212

πππ5πππ??

－，?，B＝?x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z?，易知A∩B＝?－，?. 设A＝?1212?44??124??

?

πππππππ

－，?时，f(x)在区间?－，?上单调递增，又因为－?－?＝

ππ

－，－?上单调递减． 以f(x)在区间?12??4

求三角函数单调区间的两种方法

(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．

(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．

[提醒] 要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．

角度二 利用三角函数的单调性比较大小

π?π?，x＋?， 已知函数f(x)＝2sin?设a＝f?3??7?

π??π?，则a，b，c的大小关系是( ) b＝f?，c＝f?6??3?A．a

B．c

π?10π?π?＝2sin π＝2，c＝f?π?＝2sin 2π＝2sin π， 【解析】 a＝f?＝2sin ，b＝f?7??6??3?21233ππ10ππ

0，?上单调递增，且<<，所以c

利用单调性比较大小的方法

首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．

角度三 已知三角函数的单调区间求参数

(一题多解)(2020·湖南师大附中3月月

3π3π

－，?上单调递增，则正数考)若函数f(x)＝23sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间??22?ω的最大值为( )

1

A. 81C. 4

1B. 61D．

3

【解析】 法一：因为f(x)＝23sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝3sin 2ωx＋1在区3π3π

－，?上单调递增， 间??22?π

－3ωπ≥－，

211

所以解得ω≤，所以正数ω的最大值是.故选B.

66π

3ωπ≤.2

???

π

法二：易知f(x)＝3sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以

ω11

得ω≤.所以正数ω的最大值是.故选B.

66

【答案】 B

?

?π3π?4ω≥2，π3π－≤－，4ω2

解

已知函数单调性求参数—— 明确一个不同，掌握两种方法

(1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集．

(2)抓住两种方法．已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利