含参数不等式恒成立问题

含参数的不等式恒成立问题

在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现含参数不等式恒成立问题，题目一般综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时兼顾考查转化化归思想、数形结合思想，是高考热点题型之一。下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法。

1 转换主元法

首先确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法常适用于化为一次函数。

对于一次函数f(x)?kx?b,x?[m,n]有：

?f(m)?0?f(m)?0 f(x)?0恒成立??,f(x)?0恒成立??f(n)?0f(n)?0?? 例1：若不等式 2x－1>m(x2-1)对满足－2?m?2的所有m都成立，求x的取值范围。

分析：注意题目条件给出信息，“对满足－2?m?2的所有m都成立”确定主元为m。构造出关于m的一次函数

解：原不等式化为 (x2－1)m－(2x－1)<0

记f(m)= (x2－1)m－(2x－1) (－2?m?2)

2??f(-2)?-2(x-1)-(2x-1)?0 根据题意有：? 2??f(2)?2(x-1)-(2x-1)?02??2x?2x-3?0 即：?2

??2x?2x-1?0?1?71?3?x?解之：得x的取值范围为 22例2：安徽08文科（20）．设函数f(x)?a332x?x?(a?1)x?1,其中a为实数。 32（Ⅰ）已知函数f(x)在x?1处取得极值，求a的值；

（Ⅱ）已知不等式f(x)?x?x?a?1对任意a?(0,??)都成立，求实数x的取值范围。 本题第二问可以采用这种方法

'2分析：注意题目条件给出信息，“对任意a?(0,??)都成立”确定主元为a。构造出关于a的一次函数

(2) 由题设知：ax?3x?(a?1)?x?x?a?1对任意a?(0,??)都成立

22 即a(x2?2)?x2?2x?0对任意a?(0,??)都成立

设 g(a)?a(x2?2)?x2?2x(a?R), 则对任意x?R，g(a)为单调递增函数(a?R)

所以对任意a?(0,??)，g(a)?0恒成立的充分必要条件是g(0)?0

2 即 ?x?2x?0，∴?2?x?0 于是x的取值范围是x|?2?x?0?

?2 化归二次函数法

根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。

对于一元二次函数f(x)?ax2?bx?c?0(a?0,x?R)有： （1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0； （2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0

例3：在R上定义运算?：x?y＝(1－y) 若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则 ( )

1331 (A)－1

2222分析：根据条件得出二次不等式对任意x?R恒成立，可借助二次方程的?的符号求解

解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x成立

即x2-x-a2+a+1>0对x?R恒成立 记f(x)=x2-x-a2+a+1

则应满足??(-1)2-4(-a2?a?1)?0

化简得 4a2-4a-3<0

13解得 ??a? ,故选择C。

22????例4：已知向量a=(x2,x+1), b=(1-x,t) 若函数f(x)＝a·b在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围。

解：依题意，

f(x)＝x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t 则f＇(x)=-3x2+2x+t

∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有f＇(x)?0

即-3x2+2x+t?0在x?(-1，1)上恒成立

设g(x)=3x2-2x

∴t?g(-1) 即 t?5

例5：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0?x?1的所有实数x都成立，求m的取

值范围。

分析：根据条件得出二次不等式对某个区间上的x恒成立，可借助二次函数在这个区间上的的最值求解。也可考虑下面第三种方法（分离参数法）

解：设f(x)=x2-2mx+2m+1

本题等价于函数f(x)在0?x?1上的最小值大于0，求m的取值范围。 (1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，

1?m?0?解 ? 得

?0?m?1解 ? 得 0?m?1 2?f(m)?-m?2m?1?0(3)当m>1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值

?m?1 解 ? 得 m>1

)2?0?f(1?1综合(1)(2)(3) 得 m??

2注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解，可避免较复杂的分类讨论。

3 分离参数法

在题目中较容易分离出参数，化成a>f(x) （afmax(x) （a

（1）f(x)?m对任意x?I都成立?f(x)min(x?I)?m； （2）f(x)?m对任意x?I都成立?m?f(x)max(x?I)。

简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

3例6：（2008江苏卷）设函数f(x)?ax?3x?1(x?R)，若对于任意

的x???1,1?,都有f(x)?0成立，则实数a的值为 ． 解： 若x＝0，则不论a取何值，f?x?=1≥0显然成立；

当x＞0 即x?(0,1]时，f?x??ax?3x?1≥0可化为:

3a?3?1?2x?3131'?gx??gx?,设，则， ????x2x3x2x3x4 所以g?x?在区间?0,?上单调递增，在区间?,1?上单调递减，

22??1???1???因此g?x?max?g???4，从而a≥4； 当x＜0 即??1,0?时，f?x??ax3?3x?1≥0

?1??2?可化为a?3?1?2x?31'?0, ?gx?， ??234xxxg?x? 在区间??1,0?上单调递增， 因此g?x?min?g??1??4，从而a≤4.

综上a?4.

例7：（2010济宁一摸21）已知函数f(x)?x2?alnx.

（1）当a??2e时，求函数f(x)的单调区间和极值。 （2）若函数g(x)?f(x)?本题第二问采用这种方法： 解:（2）由g(x)?x?alnx?

2在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围。 x2a2得g?(x)?2x??2 8分 xxx22又函数g(x)?x?alnx?为[1，4]上的单调减函数。

xa2则g?(x)?0在[1，4]上恒成立，所以不等式2x??2?0在[1，4]上恒成立，

xx22即a??2x在[1，4]上恒成立。 10分

x2632. 设?(x)??2x，显然?(x)在[1，4]上为减函数，所以?(x)的最小值为?(4)??x263?a的取值范围是a??. 12分

224.数型结合法

例8：如果对任意实数x，不等式x?1?kx恒成立，则实数k的取值范围是0 ?k ?1

分析：本题目可转化为在同一坐标系中研究

K=1