导行电磁波

（１）ＴＥ波

对于ＴＥ波，Ez＝０，Hz≠０，其Hz满足的波动方程

2?2rpHz?kcHz?0 2.1.2

式中，横向拉普拉斯算子为

1dd1?2 ?? 2.1.3 (r)?rdrdrr2??22rp用分离变量法解，设

Hz?Rr()?(?)ej(?t??z) 2.1.4 式（2.1.4）代入式（2.1.2）后，两端同乘r2／ＲФ并移项得

r2?2RrdR1?2?2 2.1.5 ??kc??22R?rRdr???上式左端只是ｒ的函数，而右端只是φ的函数，要左右相等，只有两端都为常数时才可能，令此常数为n2，因而有

?2??n2??0 2.1.6 2???2R1dRn22??(kc?2)R?0 2.1.7 2?rrdrr由于圆波导内的场必须是单值的，因此，场对φ的变化以２π为周期，分离常数

ｎ必须是

整数，即ｎ＝０，１，２，３，…，式（2.1.6）的通解为

?(?)?A1cosn??B1sinn? 2.1.8

式中A1、B1为任意常数。由于圆柱坐标系中φ＝０的参考面可以移动，我们总可以将φ＝０的参考面选来使Φ＝Acosn?或Φ＝A/sinn?因此，式（2.1.6）的通解形式可写成

?cosm? 2.1.9??A??sinm?（2.1.7）为贝塞尔微分方程，它的通解是

R(r)?A2Jn(kcr)?B2Nn(kcr) 2.1.10

式中Jn(kcr)和Nn(kcr)分别是第一类和第二类贝塞尔函数。

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因为圆波导包含ｒ＝０的点，当ｒ→０时，Nn(kcr)→∞，这种情况不符合物理事实，波导内的场应为有限值，于是得B2＝０，从而贝塞尔方程的解为

R(r)?A2Jn(kcr) 2.1.11

于是，Hz的通解

?cosn?j(?t??z) 2.1.12 Hz?AJn(kcr)?e?sinn?圆波导中ＴＥ波的边界条件为

E?/r?a?0

由式（2.1.9）可推得

dHz/r?a?0 2.1.13 dr将式（2.1.12）代入式（2.1.13）有

Jn(kca)?0 2.1.14

Kcm/pnn? 2.1.15 a于是

/pmnr?cosn?j(?t??nmz) 2.1.16 Hz?AnmJm()?ea?sinn?将Ez＝０和Hz代入式（2.1.1），可得圆波导中TEnm模的场分量表示式

/pmnr?cosn?j(?t??nmz) Hz?AnmJm()?ea?sinn?//j?nnpnm/pmnr?cosn?j(?t??nmz) Jn()?e2kcmnaa?sinn?/j?nnnpnnr??sinn?j(?t??nmz) 2.1.17 J()?en2kcmnra?cosn?Hr??AnmH???AnmZ0?UE?ZTEmnH? IrE???ZTEmnHr

Ez?0

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/pmn式中 ?nn?k?()

a2ZTE?R?nnZTEM

（２）ＴＭ波

采用与ＴＥ波完全相同的步骤，可得ＴＭ波的解

?cosm?j(?t-?nnz) 2.1.18 Ez?BnnJn(kcr)?e?sinm?圆波导ＴＭ波的边界条件为

r=a处，Ez?0

从而得 Jn(kca)?0 2.1.19 此式为圆波导中ＴＭ波的特征值方程，解此方程可得截止波数

pkCmn?nn 2.1.20

apmnr?cosn?j(?t??mnz)于是 Ez?BnnJn( 2.1.21 )?ea?sinn?ＴＭ波的Ez，其形式与ＴＥ波的Hz完全一样，仅边界条件不同，从而截止波数不同。将式（2.1.21）代入横场与纵场的关系方程，可得TMnm模的场分量

pmnr?cosn?j(?t??mnz) Ez?BnnJn()?ea?sinn?Er??Bnnjpmn?nn/pnnr?cosn?j(?t??mnz) Jn()?e2kcmna?sinn?jn?nnpnnr?cosn?j(?t??mnz) 2.1.22 Jn()?e2kcmna??sinn?E???BmnHr??YTMmnE? H??YTMmnEr

Hz?0

/pmn式中 ?nn?k?()

a2 - 11 -

YTMmn?k?nnYTEM

圆波导和矩形波导一样，可以存在无限多个TEmn和TMmn模式。圆波导中场的横向分布规律为：沿径向是贝塞尔函数或其导数分布。沿角向是三角函数分布。ｎ表示场沿圆周（φ从０到２π）变化的周期数或场沿圆周分布的半波数。ｍ表示场沿半径（ｒ从０到ａ）经历的除０根之外的零点数，由于ｍ≠０，故TEn0模和TMn0模不存

2.2圆柱形波导中波的传输特性讨论

与矩形波导相同，圆柱形波导中TMmn模和TEmn模的传播特性有相应的传播常数kz确定，而传播常数kz，波数k与截止波数kc三者满足关系 kc2??2?k2 。对于给定尺寸的圆柱形波导，TMmn模和TEmn模的截止波数kc分别由式

pmnp/mn（pmn为m阶贝塞尔函数的第n个零点）与(kc)mn?式确定，相aa应的截止频率: (kc)mn?fc?v?c?kc2???

截止波长 ?c?2?2? 2.1.23 ?kckT当电磁波的工作频率f大于相应模式的截止频率fc时，波导中就可以传播该模式的电磁波。相应的传播特性参数如下：

相位常数 ?nm?k2?( 相速度 ?p?pnm2) 2.1.24 a?p01?(?2)?c 2.1.25

波导波长 ?g??1?(?2)?c 2.1.26

与矩形波导一样，我们也可以根据模式截止波长的大小，绘出圆柱形波导中截止波长的分布图，如图所示：

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