数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)

v1.0 可编辑可修改 【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).

400 500 1 x1 x4 x3 2 300 x2 100 3 200 4 300

图3 某城市单行线车流量

(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.

(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计 (3) 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值. (4) 若x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理

【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.

【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足

500 = x1 + x2 ① 400 + x1 = x4 + 300 ②

x2 + x3 = 100 + 200 ③ x4 = x3 + 300 ④

【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组

?500?x1?x2?x?x4??100?1 ?x?x?30023???x3?x4?300?其增广矩阵

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v1.0 可编辑可修改 ?1?1(A, b) =?0??0?由此可得

1010001?10?101500??100?初等行变换?????300??300???1?0?0??0?01000010?1?100?1600?

?1?300??00???x1?x4??100??x2?x4?600 ?x?x??300?34即

?x1?x4?100??x2??x4?600. ?x?x?3004?3为了唯一确定未知流量, 只要增添x4统计的值即可. 当x4 = 350时, 确定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50.

若x4 = 200, 则x1 = 100, x2 = 400, x3 = 100 < 0. 这表明单行线“③应该改为“③

④”才合理.

④”

【模型分析】(1) 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.

?x1?x3?200?x1?x4?100?x2??x1?500?x1??x2?500????(2) 由?x2??x4?600可得?x3?x1?200, ?x3??x2?300, ?x2??x3?300,

?x?x?300?x?x?100?x??x?600?x?x?3004?3?41?423?4这就是说x1, x2, x3, x4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值. 参考文献

陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 16-17.

Matlab实验题

某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和

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v1.0 可编辑可修改 离开的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等.

220 300 100 x1 x2 180 300 x7 x9 x11 x3 x4 350 500 x8 x10 x12 x5 x6 160 150 150 400 290 图4 某城市单行线车流量

(1)建立确定每条道路流量的线性方程组. (2)分析哪些流量数据是多余的.

(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.

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v1.0 可编辑可修改 案例二. 配方问题

在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.

图5 日常膳食搭配 图6 几种常见的作料

【模型准备】一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成

【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A、B、C、D四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A、B、C、D四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).

【模型建立】 根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组

?2x?y?4,?3x?2y?7,?x?y?3, ??x?2y?5.【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵

?2?3(A, b) =?1??1?

12124?7?初等行变换?????3??5??5

?1?0?0??0?01001?2?, 0??0??