2018-2019学年人教A版浙江省杭州二中高二第二学期期中数学试卷 含解析

g（x）的一个“S点”，若函数f（x）＝ax2﹣1与g（x）＝lnx存在“S点”，则实数a＝

．

，a＝

，

【分析】分别令f′（x）＝g′（x），f（x）＝g（x），分离参数可得a＝则数f（x）与g（x）的“S点”为F（x）＝

﹣

的零点，求出零点即可得出

a的值．

解：f′（x）＝2ax，g′（x）＝（x＞0）， 令f′（x）＝g′（x）可得a＝令f（x）＝g（x）可得a＝令F（x）＝

﹣

2

， ，

（x＞0），

＝

设函数f（x）＝ax﹣1与g（x）＝lnx的“S点”为x0，则x0为F（x）的零点． 令F（x）＝0可得1+2lnx＝0，故x＝把x0＝

代入a＝

可得a＝．

，即x0＝

．

故答案为：．

16．在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数 588 ．（结果用数字表示）

【分析】根据题意，分2步进行分析：①，对于区域B有4种情况可选，E区域与B相邻，有3种情况可选：②，对于剩下的4个区域，分4种情况讨论，由加法原理求出其栽种方案数目，由分步计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2步进行分析：

①，对于区域B有4种情况可选，E区域与B相邻，有3种情况可选：

②，对于剩下的4个区域，分4种情况讨论：

A区域与E区域的相同，C区域与E区域的也相同；此时D区域的选法有3种，F区域的

选法也有3种，此时ADCF的区域有3×3＝9种；

A区域与E区域的不相同，C区域与E区域的相同；此时A区域的选法有2种，D区域的

选法有2种，F区域的选法有3种，此时ADCF的区域有2×2×3＝12种；

A区域与E区域的相同，C区域与E区域的不相同；此C区域的选法有2种，F区域的选

法有2种，D区域的选法有3种，此时ADCF的区域有2×2×3＝12种；

A区域与E区域的不相同，C区域与E区域也不相同；此时A区域的选法有2种，D区域

的选法有2种，C区域的选法有2种，F区域的选法有2种，此时ADCF的区域有2×2×2×2＝16种；

则ADCF的区域的选法有9+12+12+16＝49种栽种方案； 则有12×49＝588种不同的栽种方案； 故答案为：588．

17．设函数f（x）＝e（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是 [

xx，1） ．

【分析】设g（x）＝e（2x﹣1），y＝ax﹣a，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围． 解：函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1， 设g（x）＝ex（2x﹣1），y＝ax﹣a， ∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，

∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方， ∵g′（x）＝ex（2x+1）， ∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，

∴当x＝﹣时，[g（x）]min＝g（﹣）＝﹣当x＝0时，g（0）＝﹣1，g（1）＝e＞0，

直线y＝ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1， 且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得∴a的取值范围是[

，1）．

． ．

故答案为：[，1）．

三、解答题

18．如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B中，设点C是其中的一个交叉路口点． （1）求甲经过点C的概率；

（2）设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．

【分析】（1）设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两步事件相互独立，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲经过点C的概率．

（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解：（1）设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，

甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两步事件相互独立， ∴选择从中间一条路走到点C的概率为：P1＝

＝，

同理，选择从最右边的道路走到点C的概率为P2＝＝，

∵选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥， ∴P（M）＝P1+P2＝

，

∴甲经过点C的概率为．

（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，

P（X＝0）＝P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝P（X＝4）＝

∴X的分布列为：

X

0

1

＝

＝， ＝

， ＝，

，

，

2 +4×

＝．

3

4

P E（X）＝

19．在（x2

）n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．

（1）求n的值；

（2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项．

【分析】（1）由题意根据二项展开式的通项公式，求得m的值． （2）令x的幂指数等于整数，求得r的值，可得结论．

（3）设展开式中第r+1项的系数最大，根据，求得r的范围，

可得结论．

解：（1）由题意知：通项公式为Tr+1＝

?2r?

，则第4项的系数为

?23，