（江苏版）2018年高考数学一轮复习 专题7.4 基本不等式及其应用（测）

专题7.4 基本不等式及其应用

一、填空题 1.

－aa＋(－6≤a≤3)的最大值为_______．

－a【解析】因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤

－a＋a＋

2

xya＋

93

＝，当且仅当a＝－时等号成立． 22

2．若2＋2＝1，则x＋y的取值范围是_______． 【解析】∵1＝2＋2≥22·2＝22∴2

x＋yxyxyx＋y11xyx＋y当且仅当2＝2＝，即x＝y＝－1时等号成立，∴2≤，

22

1

≤，得x＋y≤－2. 4

3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于_______．

xyab

4．已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是_______． 【解析】 因为a>－1，b>－2，所以a＋1>0，b＋2>0，又(a＋1)(b＋2)≤?16≤?

?a＋1＋b＋2?2，即

?2??

?a＋b＋3?2，整理得a＋b≥5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立

??2?

14y2

5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋

xy4

y2y14y?y?2

【解析】 ∵不等式x＋

44xy4?4?

?1＋4?＝4x＋y＋2≥2

?xy?y4x??

2

4xy4xy?y?·＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，∴?x＋?min＝4，

y4xy4x?4?

∴m－3m＞4，即(m＋1)(m－4)＞0，解得m＜－1或m＞4，故实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．

6．设正实数x，y，z满足x－3xy＋4y－z＝0.则当【解析】

2

2

xy212

取得最大值时，＋－的最大值为_______． zxyzxyxy1122

＝2≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y，＋2＝zx－3xy＋4yx4y4－3x＋－3yx1

yz212?1?2

－＝－2＋＝－?－1?＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.

yy?y?

11

7．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________．

ab【答案】4

11

【解析】由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4.当且仅当

aba＝b＝1时取等号．

12

8．若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为________．

ab【答案】22

9．(2017·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________． 【答案】1

【解析】因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log2?

?x＋2y?2－1＝2－1＝1，当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，

??2?

y＝1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.

10．已知不等式2x＋m＋【答案】(－10，＋∞) 【解析】不等式2x＋m＋∵x>1，∴2(x－1)＋

88>0可化为2(x－1)＋>－m－2， x－1x－1

8

>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________． x－1

8

≥2x－1

x－

8

＝8， x－1

当且仅当x＝3时取等号． ∵不等式2x＋m＋∴－m－2<8， 解得m>－10. 二、解答题

11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．

8

>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立， x－1

12．(2017·常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m)．

2

2

(1)求S关于x的函数关系式； (2)求S的最大值．

解：(1)由题设，得S＝(x－8)?(2)因为8

?900－2?＝－2x－7 200＋916，x∈(8,450)．

?x?x?

x7 200

2x×＝240，

7 200

≥2 x当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.

故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676 m.

2