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专题19 正、余弦定理的应用

【高考地位】

正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】

类型一 判断三角形的形状

使用情景：已知边与三角函数之间的等式关系

解题模板：第一步 运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等

式；

第二步 利用三角函数的图像及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状； 第三步 得出结论.

例1在?ABC中，已知acosB?bcosA，那么?ABC一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A

【变式演练1】在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若

c?cosA，则?ABC为． bA．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】

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试题分析：根据 定理：

csinC??cosA,那么sinC?sinBcosA,根据A?B?C??,bsinB所以sinC?sin?A?B?,所以sin?A?B??sinBcosA,整理为：sinAcosB?0 ,三角形中

sinA?0,所以cosB?0,那么

?2?B??．

考点：1．正弦定理；2．解斜三角形．

【变式演练2】在???C中，内角?，?，C所对的边分别为a，b，c，若???3，且a，

b，c成等比数列，则???C一定是（ ）

A．不等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D

考点：1．等比数列；2．解三角形．

【变式演练3】在?ABC中，若c?2acosB，则?ABC的形状一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D

考点：正余弦定理解三角形

【变式演练4】在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 （ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C

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【解析】

试题分析：2cos Bsin A＝sin C=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcosB- cosAsinB=0，所以sin（A-B）=0，所以A=B，三角形为等腰三角形 考点：三角函数公式

类型二 解三角形中的边和角

使用情景：三角形中

解题模板：第一步 直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦

定理；

第二步 利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论.

例2在锐角则A.

中，角

的对边分别为

，若

，

，

的取值范围（ ）

B.

C.

D.

【答案】B

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,

故答案选

【点评】在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围求得最后结果。在边角互化中，注意化简和诱导公式的运用。 :

例3 设?ABC的内角A， B， C所对的边长分别为a， b， c，若a? 2， b?3，B?A.

?3，则A?（ ）

?5???3? B. C. D. 或 66444【答案】C

【变式演练3】已知△ABC中，a?x，b?2，B?45?，若三角形有两解，则x的取值范围是（ ）

A．x?2 B．x?2 C. 2?x?22 D．2?x?23 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，asinB?xsin450?22要使得三角形有两解，则满足x，x?2?x，22解得2?x?22，故选C. 考点：三角形解的个数的判定.

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