量子力学基础习题

《量子力学》基础习题

1．在0K附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。 2．氦原子的动能是

E?3kT2（k为玻耳兹曼常数），求T?1K时，氦原

子的德布洛意波长。

3．设质量为m的粒子在谐振子势

V(x)?1m?2x22中运动，用量子化条件

求粒子能量E的可能取值。

4．两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

5．证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。

6．由下列两定态波函数计算几率流密度；

（1）

?1?eikr1r， （2）

?2?e?ikr1r

0?x?ax?0或x?a中运动的能

?0,V(x)????,7．求粒子在一维无限深势阱

级和波函数。

A??1a。

8．证明（2.6-14）式中的归一化常数是

9．求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。 10．一维运动的粒子处于如下状态：

?Axe??xx?0?(x)???0 x?0 其中??0，

(1) (1) 将此波函数归一化，

(2) (2) 问在何处找到粒子的几率最大？ 11．设在球坐标系中，粒子的波函数为?(r,?,?)， 求 (1)在球壳(r?r?dr)中找到粒子的几率， (2)在(?,?)方向，立体角元d?中找到粒子的几率。 12． 求三维各向同性谐掁子

U?1??2(x2?y2?z2)2的能级和波函数。

13．设?1和?2都是一维定态薛定谔方程的解，而且它们属于同一能级E，试证明：

?1dd?2??2?1?dxdxconstant.

14．上题中，若?1和?2描述的都是束缚态，试证明?1和?2只相差一个常数因子。(提示：所谓束缚态，即当x??时有??0) 15．一维线性谐振子处于基态

（1）势能的平均值

U???0????12e?22ix??t2，求

1??2x2?2

p2T???2? （2）动能的平均值

（3）动量的几率分布函数。

?1?(r,?,?)?ea0?a0r16．氢原子处于基态

（1）r的平均值；

，求：

e2?（2）势能r的平均值；

（3）最可几半径； （4）动能的平均值；

（5）动量的几率分布函数。

?2LH?2I。L17．一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是

为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：

（1）转子绕一固定轴转动； （2）转子绕一固定点转动。 18．一维运动的粒子的状态是

?Axe??xx?0?(x)???0 x?0 其中??0，求

（1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子的平均动量。

19．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数??Ax(a?x)描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 20．设氢原子处于状态

?(r,?,?)?13R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)22

求氢原子的能量，角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

2221．求（3.7）题中粒子位置和动量的测不准关系??x???p???

?是二个厄密算符，试证明： ?和G22．已知F?也是厄密算符 ??F??G(1) (1) K??G?F??i(F?G?)也是厄密算符 (2) (2) M???i?d?xFdx23．求解算符的本征值和本征函数。

????24．令L??Lx?iLy和L??Lx?iLy，试证明

?,L????L? ，(2) ?L?,L???2?L? (1) ?Lz????z??x的矩阵元和Lx的矩阵元。 25．求动量表象中角动量L226．求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 27．求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 28．求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

??表象中，算符LL?2和Lx和y和矩阵分别为 29．设已知在Lz?010??0?i0?????????Lx?Ly??101??i0?i?2?2??0100???， ?0i?

??Lx和y对角化。 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵L?30．求下面四个矩阵元：xxx?，xpp?，pxx?和ppp?。

?和B?，它们31．已知某表象的三个基矢为：??1,?2,?3?，有两个算符A??????????A33， 有如下性质：A11，A?2?0，

试写出算符

??????B13，B?2??2，A?3??1，

?，A?2，B?和B?2的矩阵。 A32．实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为R的均匀分 球体它产生的电势为

?Ze?31r2????,r?R?2??R?22R???r?????Ze,r?a?r?