2018届高三一轮复习讲义第12章第5节二项式分布及其应用

1．条件概率及其性质

P?AB?

(1)一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，

P?A?事件B发生的条件概率．

n?AB?

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.

n?A?(2)条件概率具有的性质 ①0≤P(B|A)≤1；

②如果B和C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．相互独立事件

(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．

(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． 3．二项分布

(1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为n次独立重复试验．

(2)一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生

knk

的概率为p，则P(X＝k)＝Ck，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，np(1－p)－

记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 【知识拓展】

超几何分布与二项分布的区别

(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； (2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)．

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【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( × ) (2)相互独立事件就是互斥事件．( × )

(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × )

(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( × )

(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．( √ )

1．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( ) 3223A.B.C.D. 8787答案 B

2

解析 第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为.

7

1

2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得

3通过的概率是( ) 4242A.B.C.D. 992727答案 A

11－4

解析 所求概率P＝C1()1·(1－)31＝. 3·339

3．(2015·课标全国Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312 答案 A

解析 3次投篮投中2次的概率为

2P(k＝2)＝C23×0.6×(1－0.6)，

投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，

23所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.6×(1－0.6)＋0.6＝0.648.故选A.

4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．

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答案 0.8

解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后0.6一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.

0.75

11

5．(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的34行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________． 1

答案 2

解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P(AB)111

＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－)(1－)＝，

342

“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所 11

求概率为1－P(AB)＝1－＝.

22

题型一 条件概率

例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( ) 1121A.B.C.D. 8452

(2)如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，

将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________. 1

答案 (1)B (2)

4

2

C22C213＋C22解析 (1)P(A)＝＝，P(AB)＝2＝， 2C55C510

P?AB?1

P(B|A)＝＝. P?A?4

(2)AB表示事件“豆子落在△OEH内”，

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△OEH的面积P?AB?1

P(B|A)＝＝＝.

P?A?正方形EFGH的面积4引申探究

1．若将本例(1)中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？

2

C223＋C2

解 P(A)＝＝， 2C55

C2333P(B)＝2＝，又A?B，则P(AB)＝P(B)＝，

C51010P?AB?P?B?3所以P(B|A)＝＝＝. P?A?P?A?42．在本例(2)的条件下，求P(A|B)． 1

解 由题意知，∠EOH＝90°，故P(B)＝，

41

×1×1

△OEH的面积21

又∵P(AB)＝＝， 2＝2π圆O的面积π×11

P?AB?2π2

∴P(A|B)＝＝＝.

1πP?B?

4思维升华 条件概率的求法

(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝

P?AB?

求P(B|A)． P?A?

(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝

n?AB?

. n?A?

(2016·开封模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形

与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) 3

A. 107C. 8答案 D

解析 方法一 设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口7

3377P?AB?307

灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求概率为P(B|A)＝＝＝. 101093039P?A?

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2B. 97D. 9