FIR数字滤波器设计与实现

窗函数设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列

hd(n)hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响Hd(ejw)通过傅氏反变换获得

但一般来说，理想频响都为分段恒定，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最直接简单的办法是直接截取其一段来代替。这种截取可以形象地想象为h(n)就好象是通过一个“窗口”所看到一段

hd(n)，因此 ，h(n)也可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积，即

h(n)=w(n)hd(n)

在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN(n)，当然以后我们还可看到，为了改善设计滤波器的特性，它还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。 我们从一个截止频率为ωc的线性相位理想低通滤波器为例来讨论FIR的设计问题，设低通滤波器的时延为α，即

则

理想特性的hd(n)和Hd(w)

这是一个以 α为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的

hd(n)作为h(n)，则为要保证所得到是线性相位FIR滤波器，延时α应为h(n)长度N的一

半,

α=(N-1)/2

其中WR(n)= RN(n)（为了表示一致） 设W(e)为该窗口函数的频谱:

jw

用幅度函数和相函数来表示，则有 。其线性相位部分e则是表

-j

示延时一半长度α=(N-1)/2，对频响起作用的是它的幅度函数

图 矩形窗函数及其幅度函数

理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式Hd(ejw)=Hd(w)e?jwn

其中幅度函数为

二个信号时域乘积对应于频域卷积，所以有

如果也以幅度函数H(ω)和相位函数来表示H(e),

jwH(ejw)= H(ω) e?jwn

则实际FIR滤波器的幅度函数H（ω）为

正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。

? ω=0的响应,因一般有ωc>>2π/N，WR(ω)在[-ωc, ωc]内近似包含全频域的值，

所以，H(0)≈Hd(0)；

? ω=ωc时，一半重叠，H(ωc)/H(0)=0.5；

? ω=ωc-2π/N时，第一旁瓣（负数）在通带外，出现正肩峰； ? ω=ωc+2π/N时，第一旁瓣（负数）在通带内，出现负肩峰。

由最后的频响函数图我们可以看到，

? 在通带截止频率的两旁ω=ωc±

的地方，H(ω)出现最大正负肩峰值；

? 在这两个肩峰之间形成一个过渡带，过渡带的宽度等于WR(ω)的主瓣宽度。在最大

肩峰的两侧，则形成长长的余振；

? 看公式其中x=Nω/2,所以N的

改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，最多只能改变WR（ω）的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值拉高，频率轴变密，而最大肩峰经计算可知总为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。

? 肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性

能有很大的影响。

为了改善滤波器的这些特性，只有改变窗函数的形状，标准为：

? 窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；

? 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩

峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。

但实际上这两个标准不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑

制。

窗口法的优点是简单，有闭合的公式可用，性能及参数都有表格资料可查，计算程序简单，较为实用。缺点是当Hd(ejw)较为复杂时，hd(n)就不容易由反付里叶变换求得。

边界频率因为加窗的影响而不易控制。 （2）．频率取样法

工程上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计更直接。 一、基本思想：

使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其他频率处的特性则有较好的逼近。