FIR数字滤波器设计与实现

4）快速卷积结构

若FIR滤波器的单位冲激响应h(n)是一个N1点有限长序列，输入x(n)是一个N2点有限长序列，那么输出y(n)是x(n)与h(n)的线性卷积，它是一个L＝N1+N2-1点的有限长序列。

我们知道，将x(n)补上L－N2个零值点，将h(n)补上L－N1个零值点，然后进行L点圆周卷积，就可以代替原x(n)与h(n)的线性卷积。

而圆周卷积可以用DFT和IDFT的方法来计算，这样我们得到FIR滤波器的快速卷积结构：

这里DFT和IDFT都将采用快速傅里叶变换算法，当N1和N2足够长时，比直接计算线性卷积要快得多。

2.线性相位FIR滤波器的特点

从以上的讨论中可以看出，我们最感兴趣的是具有线性特性的FIR滤波器，因此在设计FIR滤波器时，需要着重研究线性相位FIR滤波器的特点和性质，在上述已经介绍了线性相位FIR滤波器的横截型结构，现在介绍它的频响特性。

FIR滤波器的单位冲激响应h(n)是有限长的（0≤n≤N-1）,其Z变换为：

其傅立叶变换为：

其中H(ω)是幅度函数，是一个纯实数，可正可负， θ(ω)是相位函数。可以证明，线性相位FIR滤波器的冲激响应满足对称条件：

h(n) =±h(N-1-n) 和H(z)??z?(N?1)H(z?1)

（1）、线性相位FIR滤波器的幅度函数和相位函数：

（a）当h(n)是偶对称时，其幅度函数和相位函数分别为：

特点：

幅度函数H(ω)包括正负值，相位函数是严格线性相位，滤波器有(N-1)/2个抽样周期的延时，它等于单位抽样响应h(n)长度N的一半。

（b）当h(n)是奇对称时，其幅度函数和相位函数分别为：

特点：

相位函数是严格线性相位，但在零频率(ω＝0)处有π/2的相移。仍有(N-1)个

抽样周期的延时。因此当h(n)为奇对称时，FIR滤波器将是一个具有准确相位的正交变换网络。

(2)、 FIR滤波器的线性相位特性

FIR滤波器的线性相位特性如图所示。

(3)、 任何一种线性相位FIR滤波器的群延时都为：

（4）FIR滤波器幅度函数的特点

分四种情况分别讨论H（ω）的特点： （a）当h(n)偶对称，N为奇数时：

幅度函数的特点：H（ω）对ω＝0， （b）当h(n)偶对称，N为偶数 时 ：

，

呈偶对称。

幅度函数的 特点： 当 奇对称；

时，

，在z＝-1处有一个零点，

对 是

如果滤波器在 处幅度不为零（如高通滤波器）， 则不能用这种滤波器。

（c）当h(n)奇对称，N为奇数时

幅度函数的特点：

H（ω）在ω＝0， H（ω）对ω＝0， （d）当h(n)奇对称，N为偶数时：

，，

处都为零，也就是H(z)在 都成奇对称。

处为零；

幅度函数的特点：

H（ω）在ω＝0， H（ω）对ω＝0，

处为零，即H(z)在z=1处为零点； 呈奇对称，对ω＝

呈偶对称。

(5)、零点位置:

线性相位FIR滤波器的系统函数有以下关系：

可见，若z?zi是H(z)的零点，则z?1/zi也一定是H(z)的零点。又由于当h(n)是实数时，H(z)的零点必成共轭对出现，所以z?zi及z?1/zi也一定是H(z)的零点。因而线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。 其有四种可能性： （1） （2） 轭对。 （3） （4）

在实轴上而不在单位园上，只有倒数部分，无复共轭部分。 既在实轴上又在单位园上，有两种可能，z＝1或z＝－1。 既不在实轴上，也不在单位园上，则是互为倒数的两组共轭对。

不在实轴上，但是在单位园上，则共轭对的倒数是它们本身，故只有一组共

（二）FIR数字滤波器的设计

在介绍和总结完FIR数字滤波器的基本结构和相关特性（包括频响曲线（幅度和相位），单位冲激响应等）后，就是FIR数字滤波器的设计和实现，FIR数字滤波器的设计步骤有： 1.技术要求（预期性能指标）

技术要求是由实际用途决定的，它可由理想滤波器的系统函数Hd(z)、脉冲响应h(n)和差分方程描述。 2.逼近（近似）

在数字滤波器性能分析的基础上，利用已经学过的概念和数学知识提供数字滤波器的表述，它是理想滤波器的一种近似。 3.实现

上面一步的结果是一个滤波器的表述，它既可能是一个系统函数、也可能为差分方程，或者是单位脉冲响应h(n)，依据这个结果进行数字滤波器结构的实际和软硬件的实现。 下面重点介绍目前最主要的三种FIR数字滤波器的设计方法： （1）．窗函数设计法（时间窗口法）

这种方法也称为傅立叶级数法。其设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想数字滤波器的单位抽样响应hd(n)，然后时域移位并加时间窗w(n)对其截断，从而求得FIR 滤波器的单位抽样响应h(n)；

h(n)?hd(n)?w(n)

在设计过程中，将无限长序列变为有限长是通过时域加矩形窗乘积实现数据的截断的。时域乘积对应了频域卷积，从而对频响特征发生的改变。常见的窗函数有：矩形窗、三角形(Bartlertt)窗、汉宁(Hanning)窗。海明(Hamming)窗、布拉克曼(Blackman)窗、凯泽(kaiser)窗等，下面介绍几种常用的窗函数： w(n)?RN(n) 矩形窗

窗谱:WR(e)??w(n)e?jw?WR(w)e?jw(N?1)/2

jwN?1n?0 例：用矩形窗设计低通数字滤波器 程序及运行结果如下： omegac=0.37; N=81;

m=(N-1)/2; n=0:2*m+10;

h=omegac/pi*sinc(omegac*(n-m)/pi); w=[ones(1,N) zeros(1,length(n)-N)]; hd=h.*w;

omega=-pi:2*pi/300:pi; Hd=freqz(hd,1,omega); plot(omega,abs(Hd));

幅度函数: WR(w)?sin(wN/2)/sinw/2