2018-2019学年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校八年级(下)期末数学试卷

象提供的信息，解答下列问题：

（1）图2中折线ABC表示 乙 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示 甲 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选塡“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是 乙槽中铁块的高度为14cm ；

（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；

（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；

（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写成结果）

【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平； （2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （3）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积； 【解答】解：（1）乙；甲；乙槽中铁块的高度为14cm；

（2）设线段AB、DE的解析式分别为：y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2， ∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0） ∴

，

解得 ，

，

解得：，

∴解析式为y＝3x+2和y＝﹣2x+12，

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令3x+2＝﹣2x+12， 解得x＝2，

∴当2分钟时两个水槽水面一样高．

（3）由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm，即1分钟上升3cm， 当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm，即1分钟上升2.5cm， 设铁块的底面积为acm2，

则乙水槽中不放铁块的体积分别为：2.5×36cm3， 放了铁块的体积为3×（36﹣a）cm3， ∴1×3×（36﹣a）＝1×2.5×36， 解得a＝6，

∴铁块的体积为：6×14＝84（cm3）．

（4）60cm2．

∵铁块的体积为112cm3，

∴铁块的底面积为112÷14＝8（cm2），

可设甲槽的底面积为m，乙槽的底面积为n，则根据前4分钟和后2分钟甲槽中流出的水的体积和乙槽中流入的水的体积分别相等列二元一次方程组，

∵“匀速注水”，没过铁块前和没过铁块后注水速度未变，则总水体积不变 ∴

，

解得：m＝60（cm2）．

【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．

22．（7分）如图l，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2＝AB?AD，我们称该四边形为“可分四边形”∠DAB称为“可分角”．

（1）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，求证：△DAC∽△CAB．

（2）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB＝∠

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DAB，则∠DAB＝ 120° ．

（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC＝4，BC＝2，∠D＝90°，则AD＝

．

【分析】（1）先判断出

，即可得出结论；

（2）由已知条件可证得△ADC∽△ACB，得出D＝∠4，再由已知条件和三角形内角和定理得出∠1+2∠1＝180°，求出∠1＝60°，即可得出∠DAB的度数；

（3）由已知得出AC2＝AB?AD，∠DAC＝∠CAB，证出△ADC∽△ACB，得出∠D＝∠ACB＝90°，由勾股定理求出AB，即可得出AD的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”， ∴AC2＝AB?AD， ∴

，

∵∠DAB为“可分角”， ∴∠CAD＝∠BAC， ∴△DAC∽△CAB；

（2）解：如图所示： ∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠2， ∵AC2＝AB?AD， ∴AD：AC＝AC：AB， ∴△ADC∽△ACB， ∴∠D＝∠4， ∵∠DCB＝∠DAB， ∴∠DCB＝∠3+∠4＝2∠1，

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∵∠1+∠D+∠3＝∠1+∠4+∠3＝180°， ∴∠1+2∠1＝180°， 解得：∠1＝60°， ∴∠DAB＝120°； 故答案为：120；

（3）解：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”， ∴AC2＝AB?AD，∠DAC＝∠CAB， ∴AD：AC＝AC：AB， ∴△ADC∽△ACB， ∴∠D＝∠ACB＝90°， ∴AB＝

＝

＝2

，

∴AD＝＝＝．

故答案为：

【点评】此题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、新定义四边形等知识；熟练掌握新定义四边形，证明三角形相似是解决问题的关键．

23．（8分）定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如y＝

的函

数称为一次函数y＝ax+b（a≠0）的衍生函数．已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（﹣3，2），D（﹣3，0）． （1）已知函数y＝2x+1．

①若点P（﹣1，m）在这个一次函数的衍生函数图象上，则m＝ 3 ．

②这个一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为 （，2）或（﹣，2） ．

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