概率论与数理统计练习册第五章及自测题解答

数计院刘文军（2012年11月）

第五章大数定理与中心极限定理

第一题

解：由切比雪夫不等式得

P(X?EX?7.5)?第二题

DX2.5??0.044 7.527.52 X={1000件产品中的次品数}，则X~B(1000,0.1)解：设，由中心极限定理知，

近似X~N(1000?0.1,1000?0.1?0.9)?N(100,90) ，故

100?10090?1001P(90?X?100)??()??()???(?1.05)??(1.05)?0.5?0.353129090第三题

解：设至少需要安装n条外线X={200台电话机中使用外线的台数}，则X~B(200,00.5)近似，

由中心极限定理知，X故?(P(X?n)?0.9，第四题

~N(200?0.05,200?0.05?0.95)?N(10,9.5)，由已知得，

，亦即n?14。

n?10n?103.96查表得，即n?1)?0.9，?1.285，

9.59.56000?1,第i件为合格品，i?1,2,,6000，则合格品数为?Xi，频率为 解：设Xi??i?1?0，第i件为不合格品6000i?1?X6000i600050001于是，，由中心极限定理知，P(???)?0.99X~N(1000,)，?i， 6000600066i?1i?1?Xi故2?(6000?6000?)?1?0.99，所以，?2.575，从而，??0.0124，合格品数

5000/65000/6的范围(1000?6000*0.0124,1000?6000*0.0124)?(925,1075)。 第五题

证明：设?(X)的分布函数为F?(x)，因为?(x)为正的增函数，则有

P(X?t)?P(?(X)??(t))?u??(t)?dF?(u)?uumdF(u)?dF(u)??????(t)?(t)?(t)u??(t)数计院刘文军（2012年11月）

自测题（第四五章）

第一题 略 第二题

?1x?y?x1dy,0?x?20?x?2??+，解： fX(x)???03， ??36 ??0,其它??0,其它?2x?y?2y?2dx,0?y?1?，0?y?1??0 fY(y)????33，

??0,其它??0,其它2x11111622xx(?)dx?EX?x(?)dx?，， ?036?09369112y?252y?272EY??ydy?，EY??y2()dy?，

0039318212xxx?y12EXY??xdx?y()dy??(?)dx?，

0003233323132222因此，DX?EX?(EX)?，DY?EY?(EY)?，

81162故EX?2Cov(X,Y)?EXY?EXEY??第三题 解：EX?1Cov(X,Y)2，?XY?。 ??81299DXDY??0xm?1?x(m?1)!edx??m?1， m!m!EX??第四题 解：由

2?0xm?2?x(m?2)!edx??(m?2)(m?1)，故DX?EX2?(EX)2?m?1。 m!m!1a?1，即a?6。 ???0611131EX??6x2(1?x)dx?，EX2??6x3(1?x)dx?，故DX?EX2?(EX)2?，

0021020??f(x)dx??ax(1?x)dx?1得，

?111111525P{X?EX?2DX}?P{??X??}??116x(1?x)dx?。

?2525252511

数计院刘文军（2012年11月）

第五题

解：1. 由于X与Y相互独立，故fZ(z)?y?z?xz?????fX(x)fY(z?x)dx??e?xfY(z?x)dx0??z?(z?y)?y?z??eedy,z?0ze,z?0??(z?y)??efY(y)dy???0?????0,z?0?z?0?0,

第六题

证明：因为X服从泊松分布，且EX?6，故DX?6，由切比雪夫不等式得

P(0?X?9)?P(?6?X?EX?3)?P(X?EX?3)?1? 第七题

证明：因为EX?61?323。

?baxf(x)dx??bf(x)dx?b，EX??xf(x)dx??af(x)dx?a，

aaabbb所以，a?EX?b。 又E(X?故

a?bbba?b2a?b2a?b2a?b22DX?E(X?)??(x?)f(x)dx??(x?)f(x)dx??a?b(x?)f(x)dxaa22222a?b2aba?b2a?b2(b?a)2(a?)f(x)dx??a?b(b?)f(x)dx?2242a?b2a?b2a?b2)?E(X?EX?EX?)?E(X?EX)2?(EX?)?DX， 222???ba(b?a)2。 f(x)dx?4