全国大联考2020届高三第五次联考数学(理)试题及答案

全国大联考

2020届高三第五次联考·数学试卷

考生注意：

1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上．

3．本试卷主要考试内容：前四次联考内容（30%），计数原理、概率与统计（40%），算法初步、推理与证明、复数（30%）．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足(z?i)(?i)?5，则z?（ ） A．6i

B．?6i

C．?6

D．6

2．已知全集U?R，集合A??x|A．{x|?3?x?1}

??x?3??0?，B?x|2?x?x2?0，则?CUA?IB?（ ） x?1???B．{x|1?x?2} C．{x|?3?x??1} D．{x|1?x?2}

3．已知随机变量X服从正态分布N?4,9?b，且P?X?2??P?X?a?，则a?（ ） A．3

B．5

C．6

D．7

4．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）

A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长 B．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上 C．从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿

D．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年

5．如图，在三棱锥S?ABC中，SA?平面ABC，AB?BC，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）

A．

1 2B．

1 4C．

1 3D．

2 36．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

A．

7 8B．

15 8C．

31 16D．

15 167．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为

1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用

相同结束的概率为（ ） A．0.18

B．0.3

C．0.24

D．0.36

rrrrrrrrr8．已知a?3b?3，且(2a?b)?(a?4b)，则2a?b在a方向上的投影为（ ）

A．

7 3B．14

C．

20 3D．7

9．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

mn10．(x?1)(y?2)的展开式中，满足m?n?2的xy的系数之和为（ ）

35A．640

11．观察下列各式：

B．416 C．406 D．?236

x?y?2，x2?y2?4，x3?y3?9，x4?y4?17，x5?y5?31，x6?y6?54，x7?y7?92，

L，根据以上规律，则x10?y10?（ ）

A．255

12．已知函数f(x)?（ ）

A．(e,3)U(3,??)

B．?0,e?

C．e,??

B．419

C．414

D．253

x3alnx?3??a在区间?1,???上恰有四个不同的零点，则实数a的取值范围是lnxx?2?D．(??,e)U{3}

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．

13．某大学A、B、C、D四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则D专业应抽取_________人．

14．“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________． 15．已知“在?ABC中，

abc??”，类比以上正弦定理，“在三棱锥A?BCD中，侧棱ABsinAsinBsinC与平面ACD所成的角为

S5??、与平面BCD所成的角为，则?BCD?________．

S?ACD12316．已知抛物线C:y?16x的对称轴与准线的交点为M，直线l:y?kx?4k与C交于A，B两点，若

2AM?4BM，则实数k?__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．

17．已知?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?ab?2b?0． （1）若C?22?3，证明：3sinB?sinC．

（2）若C?2?，c?7，求?ABC的面积． 318．在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，?BCD?90?，PA?CD，

BC?CD?1AD?1，PA?PD，E，F分别为AD，PC的中点． 2

（1）求证：PC?2EF．

（2）若EF?PC，求二面角P?BE?F的余弦值． 19．已知函数F(x)??13x?x2?2a，G(x)?alnx，设f(x)?F?(x)?G(x)． 6（1）当a??3时，求函数f?x?的单调区间；

（2）设方程f??x??c（其中c为常数）的两根分别为?，?（注：f???x?是f??x?的导函数）

20．第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取50户居民进行调查，得到如下的2?2列联表． 试点后 试点前 合计 分类意识强 分类意识弱 合计 ?????，证明：f????????2???0． ?5 9 50 已知在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58．

（1）请将上面的2?2列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；

（2）已知在试点前分类意识强的9户居民中，有3户自觉垃圾分类在12年以上，现在从试点前分类意识强