2010年高考数学江西卷理科全解析

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【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎

21. （本小题满分12分）

x2y2C1:2?2?1(a?b?0)22C:x?by?bab2设椭圆，抛物线。

（1） 若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；

（2） 设A（0，b），Q?33，?,又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心

??5?4?为B?0，b?，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程。

【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。

（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：c?b，由

22??3?4?c212。 a?b?c?2c,有2??e?a222222(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设

M(?x1,y1),N(x1,y1)(x1?0),由?AMN的垂心为B，有

?????????3BM?AN?0??x12?(y1?b)(y1?b)?0。

42 由点N(x1,y1)在抛物线上，x1?by1?b2，解得：y1??或y1?b(舍去)

b4故x1?b55b5bb,M(?b,?),N(b,?)，得?QMN重心坐标(3,).

42242411b2?b2,所以b=2，M(?5,?),N(5,?)，又因为M、N在椭 由重心在抛物线上得：3?22416x2y2??1，抛物线方程为x2?2y?4。 圆上得：a?，椭圆方程为16342322. （本小题满分14分） 证明以下命题：

（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b

（2） 存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an2，bn2，cn2成等差数

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列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证a?c?2b，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值12,52,72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

2222222证明：当an成等差数列，则bn， ，bn，cn?an?cn?bn222分解得：(bn?an)(bn?an)?(cn?bn)(cn?bn) 选取关于n的一个多项式，4n(n2?1)做两种途径的分解

4n(n2?1)?(2n?2)(2n2?2n)?(2n2?2n)(2n?2)4n(n2?1)

?an?n2?2n?1?2对比目标式，构造?bn?n?1(n?4)，由第一问结论得，等差数列成立，

?c?n2?2n?1?n考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

m2?2m?1m2?1m2?2m?1??任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例2，

n?2n?1n2?1n2?2n?1由比例的性质得：

m?1m?1??m?n，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 n?1n?1

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