数字信号处理习题答案

X(z)?A11?2z?1?1?A212z?1

其中

?A1?(1?2z?132z?1)(1??1232?(1?2zzz?1?1)|z?2??1

)?1A2?(1?2z?1)(1?12?(1?z?112z?1)|z?12?1

)所以

X(z)?X1(z)?X2(z)?A11?2z?1?1?A212z?1??11?2z?1?1?112z?1

（1）收敛域0.5?|z|?2对应的原序列x(n)，由收敛域可得X1(z)对应的原序列为左边序列，而X2(z)对应的原序列为右边序列，查表3-2可得 x(n)?()u(n)?2u(?n?1)

21nn（2）收敛域|z|?2对应的原序列x(n),由收敛域可得X1(z)、X2(z)对应的原序列都为右边序列，查表3-2可得

x(n)?()u(n)?2u(n)

21nn3.19 分别用长除法、部分分式法求以下X(z)的反变换：

1?1314zz?1（1）X(z)?1?,?2|z|?12

（2）X(z)?1?2z1?14z?1,?2|z|?12

解：

（1）部分分式法：X(z)有两个极点：z1?0.5，z2??0.5，所以利用部分分式进行展开为：

1?X(z)?1?1314zz?1??2A11?12z?1?1?A212z?1

1?A1?(1?12z?113z?1)(1?13z?112?(1?z?112z?1)|z?0.5?16

)1?A2?(1?12z?1)(1?12?(1?z?112z?1)|z??0.5?56

)所以

1?X(z)?1?1314zz?11?612?z?15612

z?1?21?1?由收敛域|z|?12可得原序列为右边序列，查表3-2可得

x(n)?[11n51n()?(?)]u(n) 6262长除法

x(n)??1,???1111?,,?,?? 341216?（2）部分分式法：X(z)有两个极点：z1?0.5，z2??0.5，所以利用部分分式进行展开为：

X(z)?1?2z1?14z?1??2A11?12z?1?1?A212z?1

A1?(1?1?2z12z?1?1)(1?12?(1?z?112z?1)|z?0.5??32

)A2?(1?1?2z12z?1?1)(1?12?(1?z?112z?1)|z??0.5?52

)所以

1?2z1?14z?1??1?1232z?15?1?212X(z)? z?1?2由收敛域|z|?12可得原序列为左边序列，查表3-2可得

x(n)?[31n51n()?(?)]u(?n?1) 2222长除法

x(n)n?0 x(?1) x(?2) x(?3) x(?4) x(?5) … … 0 8 -4 32 -16 128 3.20 设确定性实序列x(n)的自相关函数用下式表示：

?rxx(m)??x(n)x(n?m)

n???试用x(n)的Z变换X(z)和傅里叶变换X(ej?)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ej?)。

?解： rxx(m)??x(n)x(n?m)

n??????m??Rxx(z)???x(n)x(n?m)zm???n?????n???x(n)?x(n?m)zm????m

令m??n?m，则

??Rxx(z)??n????x(n)?x(m?)zm?????n?m??n

=

?n???x(n)z?x(m?)zm?????m??X(z?1)X(z)

?或者 rxx(m)??x(n)x(n?m)?n????1x(m)?x(?m)

Rxx(z)?X(z)X(z) Rxx(ej?)=Rxx(z)|z?ej??X(ej?)X(e?j?)j?

)=|X(ej?因为x(n)是实序列，X(e?j?)?X*(ej?)，因此Rxx(e3.21 用Z变换法解下列差分方程：

（1）y(n)?0.9y(n?1)?0.05u(n),y(n)?0,n??1

)|。

2（2）y(n)?0.9y(n?1)?0.05u(n),y(?1)?1,y(n)?0,n??1 （3）y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?u(n),

y(?1)?0,y(?2)?12,y(n)?0,n??3

解：

（1） 对方程两边进行Z变换得

Y(z)?0.9Y(z)z?1?0.051?z?1

Y(z)?0.05(1?0.9z?1)(1?z?1)运用部分分式法得