专题2-2-3 向量数乘运算及其几何意义-试题君之K三关2017-2018学年高一数学必修4 含解析 精品

第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

1．向量的数乘

一般地，我们规定实数?与向量a的积是一个向量，这种运算叫做___________，记作___________．它的长度和方向规定如下： （1）?a??a；

（2）??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a与a的方向相反；??0时，?a?0． 温馨提示：（1）对于?a：①从代数角度看，?是实数，a是向量，它们的积仍然是向量．?a?0的条件是a?0或??0．②从几何的角度看，对于长度来说，当??1时，意味着表示向量a的有向线段在原方向(??0)或相反方向(??0)上伸长了?倍；当0???1时，意味着表示向量a的有向线段在原方向(0???1)或反方向(?1???0)上缩短了?倍．

（2）实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如??a，??a都无意义． 2．向量数乘的运算律

实数与向量的积满足下面的运算律：设?、?是实数，a、b是向量，则： ①结合律：???a??___________； ②第一分配律：?????a?___________； ③第二分配律：??a?b??___________． 3．向量共线定理 （1）内容：

向量b与非零向量a共线，则有且只有一个实数?，使___________． （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意a?0．

特别地，若a?b?0，实数?仍存在，但不唯一．

②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数?沟通了两个向量b与a的关系．

③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数?使向量相等即可．

K知识参考答案： 1．向量的数乘

?a

2．①????a；②?a??a；③?a??b． 3．b??a

1．掌握向量数乘的定义． K—重点 2．了解向量数乘的运算律． 3．理解向量数乘的几何意义． K—难点 掌握向量共线定理． 能熟练地进行实数与向量的积的运算，利用向量数乘的几何意义K—易错 判断两向量共线，能在深刻理解向量数乘运算的基础上综合运用． 1．“姐妹式”巧解向量问题

我们经常会遇到这样一些基本图形：两条相交直线及两条直线外的点（作为多条向量的起点）（如下例1中的图）．解与此相关的向量分解、计算、证明等问题的核心往往是抓住交点分其所在线段（直线）被从同一起点出发的向量所截得两线段的比．两次应用上述结论得到一对“姐妹式”，“殊途同归”后利用共线向量定理得到一个方程组，最后或解方程组或设而不求整体消元，则问题可迎刃而解．

【例1】如图，在△AOB的边OA，OB上分别有P，Q，已知OP:PA?1:2，OQ:QB?3:2，连接AQ，BP，设它们交点为R，若OA?a，OB?b，试用a，b表示OR．

11【答案】OR?a?b

62

【名师点睛】“姐妹式”在处理两直线相交且与这两条直线外点有关的向量分解、计算、证明等问题时有着广泛的应用．

2．用向量证明三线共点与三点共线问题

实数与向量的积的定义我们可以看作是数与数的积的推广，学习实数与向量的积及运算律时，应联想数与数的积的定义及运算律，加深理解，并注意到实数与向量的积仍是一个向量，化简向量代数式时可类比多项式的合并同类项．

1【例2】如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是BD上一点，BN=BD，求证：M，N，

3C三点共线．

【答案】证明详见解析．

【解析】设AB?a，AD?b， ∴MN?MB?BN?MC?MB?BC?11111111AB?BD?a?AD?AB?a??b?a??a?b， 23232363??11AB?AD?a?b=3MN， 22∴MNMC，

又MN，MC有公共点M， ∴M，N，C三点共线．

【名师点睛】两向量共线是我们研究向量间一种比较重要的位置关系，应掌握常见的向量共线的判定方法．用AB//CD解释AB//CD；用AB//CD解释AB//CD或AB与CD共线．证明三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数?使两向量相等．把向量共线问题转化为寻求实数?使向量相等的问题．

1．已知△ABC的边BC上有一点D满足BD=3DC，则AD可表示为

A．AD=–2AB+3AC C．AD?13AB+AC 44

B．AD?D．AD?31AB+AC 4421AB+AC 332．在△ABC中，若点D满足BD?2DC，则AD=

12A．AC?AB

3321C．AC?AB

33

52B．AB?AC

3321D．AC?AB

333．在△ABC中，点D满足BC=3BD，则

A．AD?C．AD?12AB+AC 3321AB+AC 33

12B．AD?AB–AC

33D．AD?21AB–AC 334．已知向量a，b，那么

1?2a?4b??2b等于 2