2011-5-10--质数、合数、分解质因数

四季教育—思维训练—四年级—质数、合数、分解质因数

质数、合数、分解质因数

知识点拨

1． 质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.

考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.

⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

2． 质因数与分解质因数

质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30?2?3?5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12?2?2?3?22?3，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

3． 唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n数，a1?a2????ak?p11?p22?p33???pkkaaaa其中为质

为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.

例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

4. 部分特殊数的分解

111?3?37；

1001?7?11?13；

11111?41?271；

10001?73?137；

1995?3?5?7?19；

1998?2?3?3?3?37；2007?3?3?223；2008?2?2?2?251；10101?3?7?13?37.

5. 判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.

例如：149很接近144?12?12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.

【例1 】 自然数N

是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自

例题精讲

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然数有多少个？ 【解析】 这样的自然数有4个：23，37，53，73．

【例2】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少. 【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我

们要善于抓住此类题的突破口。

【巩固】 如果a，b均为质数，且3a?7b?41，则a?b?______. 【解析】 根据题意a,b中必然有一个偶质数2，，当a?2时，b?5，当b?2时不符合题意，所以

a?b?2?5?7.

【例3】 九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？

仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人22?23?23?232?529 (个)

【巩固】 万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个

数是几？

【解析】 因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5．如果末位数字是3或

9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是7．这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个．

【巩固】 用L表示所有被3除余1的全体正整数．如果L中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L

的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数”是什么？

【解析】 “L数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L—质数”应为上列数中

去掉1，16，28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L—质数”是31．

【例4】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数. 【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、

4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数。

【例5】 7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？ 【解析】 因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2，因

此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的，所以g?2.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样d?7.

【例6】 将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少 【解析】 最大的质数必大于5，否则10个质数之和将不大于50，又60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8个7

与2个2的和为60，故其中最大的质数是7．

【巩固】 将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？ 【解析】 若要求最大的质数尽可能大，则其余9个质数应尽可能小，最佳的方案是9个2。但是此时剩

余的数为32，不是质数，所以退而求其次，另其余9个数为8个2，1个3，那么第10个数为31

【例7】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少? 【解析】 111555分解质因数：111555?3?3?5?37?67?(3?3?37)?(5?67)?333?335，所以和为

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而且要注意一些技巧，例如本题中的111?3?37668.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，。

【巩固】 把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，

那么至少要分几组.

【解析】 要保证每组中的任意2个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以

对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分3组.

【例8】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?

【解析】 如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．

ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．

当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17; 当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意． 所以它们的乘积为11×2×17=374．

【例9】 甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？ 【解析】 将6384分解质因数，6384?2?2?2?2?3?7?19，则其中必有一个数是19或19的倍数；经试

算，恰好14?19?24?6384，所以这三个数即为14，19?5?14?2?7，19?5?24?2?2?2?3，

都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19不符合要求，19，24.一般象这种类型的题，

下一个该考虑38，再下一个该考虑57，依此类推．

【巩固】 如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？ 【解析】 4875=3×5×5×5×13，有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5

×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14。

【例10】 P是质数，P?10，P?14，P?102都是质数．求P是多少？ 【解析】 由题意知P是一个奇数，因为10?3?3?1，14?3?4?2，所以P是3的倍数，所以P

?3

【巩固】 A，B，C为3个小于20的质数，A?B?C?30，求这三个质数. 【解析】 因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是2，另两个奇质数

之和为28，又因为这三个数都要小于20，所以只能为11和17，所以这三个质数分别是2，11，17.

【巩固】 某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来. 【解析】 有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47.

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