2011-2017年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编——7.函数与导数

2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

7．函数与导数

一、填空题

（2017·11）若x??2是函数f(x)?(x?ax?1)e2x?1`的极值点，则f(x)的极小值为（ ）

A.?1 B.?2e?3 C.5e?3 D.1 （2016·12）已知函数f(x)(x?R)满足f(?x)?2?f(x)，若函数y?x?1与y?f(x)图像的交点为(x1,y1)，x(x2,y2)，…，(xm,ym)，则?(xi?yi)? （ ）

i?1mA．0 B．m C．2m D．4m

?1?log2(2?x)(x?1)（2015·5）设函数f(x)??x?1，则f(?2)?f(log212)?（ ）

(x?1)?2A．3

B．6

C．9

D．12

（2015·10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为 （ ）

A．

B．

C．

D．

（2015·12）设函数f?(x)是奇函数f(x)(x?R)的导函数，f(?1)?0，当x>0时，xf?(x)?f(x)?0，则使得f (x) >0成立的x的取值范围是（ ） A．(??,?1)U(0,1)

B．(?1,0)U(1,??) D．(0,1)U(1,??)

C．(??,?1)U(?1,0)

（2014·8）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（ ）

A．0

B．1

C．2

D．3

（2014·12）设函数f(x)?3sin?x，若存在f(x)的极值点x0满足x02?[f(x0)]2?m2，则m的取值范围

m是（ ）

A．(??,?6)U(6,+?) B．(??,?4)U(4,+?) C．(??,?2)U(2,+?) D．(??,?1)U(4,+?) （2013·8）设a?log36，b?log510，c?log714，则（ ）

A.c?b?a

B.b?c?a

C.a?c?b

D.a?b?c

（2013·10）已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c，下列结论中错误的是（ ）

A.?x0?R,f(x0)?0

B.函数y?f(x)的图像是中心对称图形

C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(??,x0)单调递减 D.若x0是f(x)的极值点，则f?(x0)?0 （2012·10）已知函数f(x)?y1 o11，则y?f(x)的图像大致为（ ）

ln(x?1)?xy1 o1y1 o1y1 o1xxxx

A. B. C. D.

（2012·12）设点P在曲线y?A. 1?ln2

B.

1xe上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则|PQ|的最小值为（ ） 2C. 1?ln2

D.

2(1?ln2)

2(1?ln2)

（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） （0，+?）32?|x|A．y?x B．y?|x|?1 C．y??x?1 D．y?2

（2011·9）由曲线y?A．

x，直线y?x?2及y轴所围成的图形的面积为（ ）

B．4

C．

10 3

16 3 D．6

（2011·12）函数y?A．2

二、填空题

1的图像与函数y?2sin?x,(?2?x?4)的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） x?1B．4

C．6

D．8

（2014·15）已知偶函数f (x)在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x-1)>0，则x的取值范围是_________. （2016·16）若直线y = kx+b是曲线y = lnx+2的切线，也是曲线y = ln(x+1)的切线，则b = . 三、解答题

（2017·21）已知函数f(x)?ax?ax?xlnx,且f(x)?0.

（1）求a；

（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e

（2016·21）（Ⅰ）讨论函数f(x)??22?f(x0)?2?2.

x?2xxe 的单调性，并证明当x>0时，(x?2)e?x?2?0； x?2ex?ax?a（Ⅱ）证明：当a?[0,1)时，函数g(x)=(x?0)有最小值.设g (x)的最小值为h(a)，求函数h(a)2x的值域.

14．（2015·21）设函数f(x)?emx?x2?mx.

（Ⅰ）证明：f (x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

（Ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f (x1)- f (x2)｜≤ e-1，求m的取值范围．

15．（2014·21）已知函数f(x)?ex?e?x?2x. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）设g(x)?f(2x)?4bf(x)，当x?0时，g(x)?0，求b的最大值； （Ⅲ）已知1.4142?2?1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）.

16．（2013·21）已知函数f(x)?ex?ln(x?m).

（Ⅰ）设x?0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m?2时，证明f(x)?0.

17.（2012·21）已知函数f(x)?f?(1)e

18．（2011·21）已知函数f(x)?（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?x?11?f(0)x?x2.

2（Ⅰ）求f(x)的解析式及单调区间； （Ⅱ）若f(x)?12x?ax?b，求(a?1)b的最大值. 2alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0. x?1xlnxk?，求k的取值范围. x?1x

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7．函数与导数（解析版）

2x?1（2017·11）A【解析】∵ f?x???x2?ax?1?ex?1 ∴ 导函数f??x????x??a?2?x?a?1??e，

∵ f???2??0，∴ a??1，∴ 导函数f??x???x2?x?2?ex?1，令f??x??0，∴ x1??2，x1?1， 当x变化时，f?x?，f??x?随变化情况如下表：

x ???,?2? ?2 0 ??2,1? 1 0 极小值 ?1,??? f??x? f?x? + - + 极大值 从上表可知：极小值为f?1???1.故选A

x?111?对称，∴?1?也关于?0，xxmmmm对于每一组对称点xi?xi'?0， yi?yi'=2，∴??xi?yi???xi??yi?0?2??m，故选B．

2i?1i?1i?1

x?111?对称，而y?1?对称，∴?1?也关于?0，12）B解析：由f?x??2?f?x?得f?x?关于?0，（2016·

xxmmmm对于每一组对称点xi?xi'?0， yi?yi'=2，∴??xi?yi???xi??yi?0?2??m，故选B．

2i?1i?1i?1

1?对称，而y?12）B解析：由f?x??2?f?x?得f?x?关于?0，（2016·

（2015·5）C解析：由已知得f(?2)?1?log24?3，又log212?1，所以f(log212)?2log212?1?2log26?6，故f(?2)?f(log212)?9．

（2015·10）B解析：由已知得，当点P在BC边上运动时，即0?x?当点P在CD边上运动时，即?x??时，PA?PB?tan2x?4?tanx；4?4??3?11，x?时，PA?PB?(?1)2?1?(?1)2?1，当x?时，

tanxtanx2243??x??时，PA?PB?4PA?PB?22；当点P在AD边上运动时，即

的运动过程可以看出，轨迹关于直线x?tan2x?4?tanx，从点P

对称，且f()?f()，且轨迹非线型，故选B． 242f(x)x?f(x)?f(x)（2015·12）A解析：记函数g(x)?，则g?(x)?，因为当x>0时，xf ′(x)-f(x)<0，故当x>0

xx2时，g′ (x)<0，所以g(x)在(0, +∞)单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞, 0)单调递增，且g(-1)=g(1)=0．当00，则f(x)>0；当x<-1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞, -1)∪(0, 1)，故选A．

???11?2，，且在点(0,0)处的切线的斜率为2，∴y'|x?0?a?即a?3.

x?10?1??x??x1?0得x?m(?k),k?Z， （2014·12）C解析：∵f?(x)?3cos，令f?(x)?3cosmmmm2（2014·8）D解析：∵y'?a?