考研数学基础班概率统计讲义 - 汤家凤

. .

4 、 连 续 型 随机变 量的 密度函 数 — 设 X 的分 布函 数为 F (x) ，若存 在非负 可积 函数 f (x) ，使得

x

F (x)

f (t)dt ，称 f (x) 为 X 的密度函数。

【注解】（1） f (x) 0 。

（2）

二、常见随机变量及其分布 （一）离散型

f (x)dx 1。

1、二项分布—若随机变量 X 的分布律为 P{X 称随机变量 X 服从二 项分布，记为 X ~ B(n, p) 。

k} n

Ck pk (1 p)nk (0 k n) ，

2、Poisson 分布—若随机变量 X 的分布律为 P{X k} ek!

k

(k 0,1,2,L) ，称随机变量 X

服从泊松分

布，记为 X ~ () 。

3、几何分布—若随机变量 X 的分布律为 P{X 变量 X 服从几何分 布，记为 X ~ G( p) 。

k} p(1 p)k 1

(k 1,2,L) ，称随机

（二）连续型

?1 , a x b

服从均匀分布，记

1、均匀分布—若随机变量

?

的密度函数为 f (x?) ?

??0, 其他

b a

，称随机变量

为

?0, x 0 ???~ U (a, b) ，其分布函数为 F (x) ??

?b a ??1, x b

2、正态分布—若随机变量

x a , a x b 。

1

的密度函数为 f (x)

( x??2

)

(

22

x 服从正态

) ，称随机变

e

2 0,

量

分布，记为 为

~ N (,

~ N (0,1) ，其密度

x

2

2

) ，特别地，若 1，称随机变量服从标准正态分布，记

为

(x)

2

1

e2

(x ) ，其分布函数为

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. .

x

(x) (t)dt 。

?ex x

分布，记为

3、指数分布—若随机变量

的密度为 f (x)

?

?0, x 0

, 0

(

0) ，称随机变量

服从指数

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. .

~ E() ，其分布函数为 F ?(0, x) x 0

。 ? e x

, x 0 ?1 【注解】（1） (0) 1

, (a) 1

(a) 。 2

（2）若 ~ N (,2

) ，则 P{

} P{}

1

。

2

（3）若 ~ N (,

2

) ，则 ~ N (0,1) 。

（4）若

~ N (2

) ，则 P{a b} F (b) F (a) (

b )

( a ,

) 。

例题选讲

一、选择题

1、设 X1 , X 2 的密度为 f1 (x), f 2 (x) ，分布函数为 F1 (x), F2 (x) ，下列结论正确的是[

( A)F1 (x)

F2 (x) 为某随机变量的分布函数； (B) f1 (x)

f2 (x) 为某随机变量的密度函数；

(C)F1 (x)F2 (x) 为某随机变量的分布函数；

(D) f1 (x) f2 (x) 为某随机变量的密度函数。

2、设随机变量 X 的密度函数 f (x) 为偶函数，其分布函数为 F (x) ，则

[

]

( A)F (x) 为偶函

(B)F (a) 2F (a) 1 ；

数；

a (

D)F (a) 1

?a

(C)F (a) f ?f (x)dx 。

1

(x)dx ；

0

2

0

3、设 X ~ N (

,42 ),Y ~ N (,52 ) ，令 p P{X 4}, q P{Y 5}，则

[

]

( A) 对任意实数 都有 p (B) 对任意实数 都有 p q ；

q ；

(C) 对个别 ，才有 p (D) 对任意实数 ，都有 p q 。

q ；

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]

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4、设 X ~ N (,

2

) ，则随的增大，概率 P{| X ` (C) 保持不变；

|} [

]

( A) 单调增大； (B) 单调减少；

(D) 增减不确定。

二、填空题 1、 设X ~ N (

,

2

),方程y 2 4 y X 0无实根的概率为

2

1 ,则

。

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