考研数学基础班概率统计讲义 - 汤家凤

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考研数学基础班概率统计讲义

第一章 随机事件与概率

一、随机试验与随机事件 （一）基本概念

1、随机试验—具备如下三个条件的试验：

（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。

（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为 E 。

2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算

1、事件的积—事件 A 与事件 B 同时发生的事件，称为事件 A, B 的积，记为 AB 。

2、事件的和—事件 A 或者事件 B 发生,称为事件 A, B 的和事件，记为 A B 。 B 。

3、事件的差—事件 A 发生而事件 B 不发生,称事件 A, B 的差事件，记为 A （三）事件的关系

1、包含—若事件 A 发生则事件 B 一定发生，称 A 包含于 B ，记为 A B 。 若 A

3、对立事件—若 AB B 且 B A ，称两事件相等，记 A B 。

，称事件 A, B 不相容或互斥。

2、互斥（不相容）事件—若 A 与 B 不能同时发生，即 AB 且 A B AB ，且 A (B 称事件 A, B 为对立事件。

【注解】（1） A ( A ( A B) B) A A B) B) A ； B)

B 与 AB 互斥。 AB ，且 A BA, A (B

（2） A B A) B, B B C) A A, AB 两两互斥。 B ( A （四）事件运算的性质 1、（1） AB 2、（1） A （2） A A(或B) A C) ( A B ； （2） AB A ； ( A ( A A ；

A, A ( A (B C), A C) ；

B)

3、（1） A （3） A 4、（1） A B) ( A ；

（2） ( A A 。

B ；

B A AB (B A) 。 A （2） A

二、概率的定义与性质

（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为

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，满足如下条件的随机事件的函数 P() 称为所对应事

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件的 概率：

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1、对事件 A ，有 P( A) 0 （非负性）。

2、 P(

) 1（归一性）。

3、设 A1 , A2 ,L, An ,L 为不相容的随机事件，则有 P( U An )

（二）概率的基本性质 1、 P(

n1

P( An ) （可列可加性）。

n1

) 0 。

n k 1

n

2、设 A1 , A2 ,L, An 为互不相容的有限个随机事件列，则 P( U Ak )

k 1

P( Ak ) 。

3、 P( A)

1P( A) 。

B)

P( A)

P( AB) 。

4、（减法公式） P( A （三）概率基本公式 1、加法公式 （1） P( A B) B P( A) C)

P(B) P( A)

P( AB) 。 P(B)

P(C)

P( AB)

P( AC) P( AB)

P(BC)

（2） P( A P( ABC) 。

2、条件概率公式：设 A, B 是两个事件，且 P( A)

0 ，则 P(B | A)

P( A)

。

3、乘法公式 （1）设 P( A)

0 ，则 P( AB) P( A)P(B | A) 。

1

（2） P( A1 A2 L An ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )L P( An | A1 A2 L An) 。

三、事件的独立性

1、两个事件的独立—设 A, B 是两个事件，若 P( AB)

P( A)P(B) ，称事件 A, B 相互独立。

?P( AB) P( A)P(B);

???P( AC) P( A)P(C);

2、三个事件的独立—设 A, B, C 是三个事件，若

?? ，称事件 A, B, C 相互独立。 P(BC) P(B)P(C); ???P( ABC) P( A)P(B)P(C),

【注解】

（1） A, B 相互独立的充分必要条件是 A, 、 A, B 、 A, B 任何一对相互独立。

B

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（2）设 P( A) 0 或 P( A) 1 ，则 A 与任何事件 B 独立。

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